Calcule a integral.

∫ cos ⁡ θ cos 5 ⁡ ( s e n   θ )   d θ

Passo 1

O enunciado pede para acharmos uma primitiva para a função cos ⁡ θ cos 5 ⁡ ( s e n   θ ) . Note que a questão está te chamando para fazer a substituição u = s e n   θ pois a derivada do seno é cosseno. Assim, d u = cos ⁡ θ   d θ e a integral fica:

∫ cos ⁡ θ cos 5 ⁡ ( s e n   θ )   d θ = ∫ cos 5 ⁡ u   d u

Agora, vamos reescrever cos 5 ⁡ u = cos 4 ⁡ u cos ⁡ u = 1 - s e n 2 u 2 cos ⁡ u . Como a derivada do seno é cosseno, vamos fazer agora x = s e n   u , de modo que d x = cos ⁡ u   d u . Eu sei que parece estranho fazer a mesma substituição duas vezes, mas confia em mim que vai dar certo!

Assim, temos que

∫ cos ⁡ θ cos 5 ⁡ ( s e n   θ )   d θ = ∫ 1 - s e n 2 u 2 cos ⁡ u   d u = ∫ 1 - x 2 2   d x

Passo 2

Abrindo a integral:

∫ cos ⁡ θ cos 5 ⁡ ( s e n   θ )   d θ = ∫ 1 - 2 x 2 + x 4   d x = x - 2 x 3 3 + x 5 5 + C

Passo 3

Voltando para a variável u :

∫ cos ⁡ θ cos 5 ⁡ ( s e n   θ )   d θ = s e n   u - 2 3 s e n 3 u + 1 5 s e n 5 u + C

Por fim, trocando u por s e n   θ :

∫ cos ⁡ θ cos 5 ⁡ ( s e n   θ )   d θ = s e n s e n   θ - 2 3 s e n 3 s e n   θ + 1 5 s e n 5 s e n   θ + C

Resposta

s e n s e n   θ - 2 3 s e n 3 s e n   θ + 1 5 s e n 5 s e n   θ + C

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