Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 3 km além da estação.

(a) Quais são as quantidades dadas no problema?

(b) Qual é a incógnita?

(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t .

(d) Escreva uma equação que relacione as quantidades.

(e) Termine a resolução do problema.

Passo 1

Opa, bora lá resolver mais uma questão! Temos um avião voando em uma altura h = 2   k m a 800   k m / h . Assim, visualmente, temos que:

Ele passa por um radar e segue, queremos a taxa da distância entre o avião e o radar quando o avião esta 3 k m depois do radar, ou seja:

Mas antes, temos que responder alguns itens que o nosso enunciado pede!

O legal é que esses itens são o nosso passo a passo!! Quer ver?? Bora junto!!

😉

Passo 2

Item a: Quais são as quantidades dadas no problema?

As quantidades dadas do problema são os dados que temos, ou seja:

1) A altitude do avião (altura vertical): h = 2   k m ;

2) A velocidade horizontal do avião: d x d t = 800   k m / h ;

3) A distância horizontal do avião em relação à estação de radar no momento de interesse: x = 3   k m .

Item b: Qual é a incógnita?

A incógnita é o que queremos calcular, ou seja, é a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando o avião está a 3   k m além da estação, ou seja, d s d t .

Sendo que s é a distância entre o avião e a estação.

Passo 3

Item c: Faça um desenho da situação para qualquer instante t .

Opa, já temos (vamos apenas acrescentar o s ):

Note que temos um triângulo retângulo, onde:

1) Um cateto vertical representa a altitude do avião h = 2 ;

2) O cateto horizontal representa a distância horizontal do avião em relação à estação x ;

3) A hipotenusa representa a distância s entre o avião e a estação.

Passo 4

Item d: Escreva uma equação que relacione as quantidades.

Como a situação descreve um triângulo retângulo, então o Teorema de Pitágoras se aplica:

s 2 = h 2 + x 2

Substituindo h = 2   k m :

s 2 = x 2 + 4

Passo 5

Item e: Termine a resolução do problema:

Queremos d s d t quando x = 3   k m .

Dessa forma, substituindo x = 3 na expressão anterior, obtemos:

s 2 = 3 2 + 4 ∴

s = 13   k m

Agora, derivando implicitamente equação s 2 = x 2 + 4 com relação a t , e já sabendo eu a derivada de uma constante é zero, obtemos:

2 s d s d t = 2 x d x d t

Simplificando a expressão:

d s d t = x s ⋅ d x d t

Substituindo pelos valores conhecidos, obtemos:

d s d t = 3 13 ⋅ 800 ∴

d s d t = 2400 13 13

Ou, aproximadamente:

d s d t ≈ 665,6   k m / h

Resposta

a)

1) A altitude do avião (altura vertical): h = 2   k m ;

2) A velocidade horizontal do avião: d x d t = 800   k m / h ;

3) A distância horizontal do avião em relação à estação de radar no momento de interesse: x = 3   k m .

b)

A incógnita é a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando o avião está a 3   k m além da estação, ou seja, d s d t .

c)

d)

s 2 = x 2 + 4

e)

d s d t ≈ 665,6   k m / h

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados