Enunciado

Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 3 km além da estação.

(a) Quais são as quantidades dadas no problema?

(b) Qual é a incógnita?

(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t .

(d) Escreva uma equação que relacione as quantidades.

(e) Termine a resolução do problema.

Passo 1

Opa, bora lá resolver mais uma questão! Temos um avião voando em uma altura h = 2   k m a 800   k m / h   . Ele passa por um radar e segue, queremos a taxa da distância entre o avião e o radar quando o avião esta 3 k m depois do radar.

-Hãaam?!

Temos que responder muitos itens nessa questão. Mas antes de tudo vamos desenhar o que ta acontecendo:

O que queremos aqui é:

d x d t = ? ? ?

Temos:

d y d t = 800 k m h

Mas antes disso vamos resolver os itens da questão!

Passo 2

Item a: Quais são as quantidades dadas no problema?

As quantidades dadas do problema são a altitude de 2 km com que o avião em um eixo horizontal y voa a uma velocidade de 800 km/h ( d y d t = 800 ) voa e que num determinado instante ele está distante a 3 km da estação( x = 3 ) sendo o tempo t expresso em horas.

Item b: Qual é a incógnita?

A incógnita é a taxa de variação entre o avião e a estação, ou seja, d x d t .

Passo 3

Item c: Faça um desenho da situação para qualquer instante t .

Opa, já temos:

Passo 4

Item d: Escreva uma equação que relacione as quantidades.

Como a situação descreve um triângulo retângulo, então o Teorema de Pitágoras se aplica:

y 2 + 2 2 = x 2

y 2 + 4 = x 2

Passo 5

Item e: Termine a resolução do problema:

Queremos d x d t então pegamos a relação encontrada acima e derivamos os dois lados:

d d t y 2 + 4 = d d t x 2

Derivando implitamente:

2 y d y d t = 2 x d x d t

d x d t = y x d y d t

Precisamos calcular o x :

y 2 + 4 = x 2

x = y 2 - 4

x = 3 2 - 4 = 5

Agora é só substituit:

d x d t = 3 5 800

Simplificando:

d x d t = 2400 5 5

d x d t = 480 5 5

Logo, a distância varia a uma taxa de d x d t = 480 5 5 km/h.

Resposta

A distância varia a uma taxa de 480 5 5     km/h.

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