Enunciado

Um peru assado é tirado de um forno quando a sua temperatura atinge 85 ° C e ele é colocado sobre uma mesa em um cômodo em que a temperatura 22 ° é C.

(a) Se a temperatura do peru for 65 ° C depois de meia hora, qual será a temperatura depois de 45 minutos?

(b) Quando o peru terá esfriado para 40 ° C?

Passo 1

Opa, temos uma questão natalina!

Aqui a gente vai avaliar o resfriamento de um peru assado! O enunciado diz que ele sai do forno quando esta a 85 ° C (a carne do peru, não a temperatura do forno rs) e ele só é colocado na mesa quando sua temperatura chega a 22 ° C !

Na letra (a) temos a informação de que depois de 30   m i n a temperatura do peru chega a 65 ° C , sabendo disso, qual é a temperatura depois de 45 min?

Pra resolver esse problema vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que, a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperaturas entre o objeto e o meio circundante (para diferenças não muito grandes) ou seja:

T ' ( t ) = k T ( t ) - T s

Onde T é a temperatura em função do tempo t , a constante T s é a temperatura do meio circundante e k é a taxa de resfriamento relativa e constante.

Podemos dizer que:

y = T ( t ) - T s

Então temos:

T ' t = k ( y )

Que é o mesmo resultado que a gente obtem quendo derivamos y = T ( t ) - T s .

Passo 2

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

y t = y 0 e k t

Ou

T ( t ) - T s = T ( 0 ) - T s e k t

Se quando t = 30 minutos, o peru com temperatura T 0 = 85 ° C, em um meio circundante com temperatura T s = 22 ° C, apresenta a temperatura T 30 = 65 ° C, podemos substituir esses valores na equação exponencial:

T ( 30 ) - T s = T ( 0 ) - T s e 30 k

65 - 22 = 85 - 22 e 30 k

43 = 63 e 30 k

e 30 k = 43 63

Jogando l n dos dois lados:

ln ⁡ e 30 k = ln ⁡ 43 63

30 k = ln ⁡ 43 63

k = 1 30 t ln ⁡ 43 63

Logo, a temperatura obedece a função:

T t = 63 × e 1 30 t ln ⁡ 43 63 + 22

Passo 3

Agora sim, podemos calcular a temperatura depois de 45 minutos, é só encontrar T ( 45 ) :

T 45 = 63 × e 1 30 ( 45 ) ln ⁡ 43 63 + 22

T 45 = 63 × e 3 2 ln ⁡ 43 63 + 22

Pela propriedade do logaritmo temos que:

3 2 ln ⁡ 43 63 = ln ⁡ 43 63 3 2

T 45 = 63 × e ln ⁡ 43 63 3 / 2 + 22

Pela propriedade dos exponenciais podemos fazer:

e ln ⁡ 43 63 3 / 2 = 43 63 3 / 2

Então:

T 45 = 63 43 63 3 / 2 + 22

T ( 45 ) = 63 43 63 3 / 2 + 22

Calculando:

T 45 = 57,5 ° C

Logo, após 45 minutos a temperatura é de aproximadamente 57,5 ° C

Passo 4

Agora, para a letra (b), quando o peru vai estar a 40 ° ?!

O peru terá esfriado para 40 ° C quando T t = 40 , portanto, devemos achar o t para que isso aconteça:

T t = 63 × e 1 30 t ln ⁡ 43 63 + 22 = 40

e 1 30 t ln ⁡ 43 63 = 40 - 22 63

Podemos reescrever a exponencial:

e 1 30 t ln ⁡ 43 63 = e ln ⁡ 43 63 t / 30

e ln ⁡ 43 63 t / 30 = 43 63 t / 30

Assim:

43 63 t 30 = 18 63

Jogando ln dos dois lados:

ln ⁡ 43 63 t 30 = ln ⁡ 18 63

t 30 ln ⁡ 43 63 = ln ⁡ 18 63

t = 30 ln ⁡ 18 63 ln ⁡ 43 63

Calculando:

t = 98,4 ° C

Logo, o peru terá esfriado para 40 ° C após aproximadamente 98 minutos.

Resposta

(a) Após 45 minutos a temperatura é de aproximadamente 58 °C.

(b) O peru terá esfriado para 40 ° C após aproximadamente 98 minutos.

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