Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 3.8 - Ex. 18

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desse livro

(a) Se $ 1000 forem emprestados a 8 % de juros, encontre as quantias devidas ao fim de três anos se os juros forem compostos ( i ) anualmente, ( i i ) trimestralmente, ( i i i ) mensalmente, ( i v ) semanalmente,( v ) diariamente, ( v i ) a cada hora ou ( v i i ) continuamente.

(b) Suponha que $ 1000 sejam emprestados e que os juros sejam capitalizados continuamente. Se A ( t ) for a quantia devida depois de t anos, em que 0 ≤ t ≤ 3 , trace A ( t ) para cada uma das taxas de juros 6 % , 8 % e 10 % em uma mesma tela.

Passo 1

Item a:

Em problemas de capitalização de juros, temos a fórmula recorrente representada por:

A t = A 0 1 + r n n t

Onde as variáveis são:

A t : A quantia em função do tempo;

A 0 : A quantia inicial;

t : O tempo em anos;

r : A taxa de juros;

n : O número de capitalizações por ano.

Temos a taxa de juros de 8 % então r = 0,08 , a quantia inicial é $ 1000 então A 0 = 1000 e queremos saber o valor depois de 3 anos, então, t = 3 .

Desse modo obtemos a seguinte equação:

A 3 = 1000 1 + 0,08 n 3 n

Passo 2

Agora para cada frequência de contabilização temos um n deferente:

( i ) anualmente: Os juros serão contabilizados uma vez por ano, então n = 1 :

A 3 = 1000 1 + 0,08 n 3 n = 1000 1 + 0,08 1 3 × 1 = 1000 1,08 3 = 1259,712

( i i ) trimestralmente: Os juros serão contabilizados quatro vezes por ano, então n = 4 :

A 3 = 1000 1 + 0,08 n 3 n = 1000 1 + 0,08 4 3 × 4 = 1000 1,02 12 = 1268,242

( i i i ) mensalmente: Os juros serão contabilizados doze vezes por ano, então n = 12 :

A 3 = 1000 1 + 0,08 n 3 n = 1000 1 + 0,08 12 3 × 12 = 1270,237

( i v ) semanalmente: Os juros serão contabilizados 52 vezes por ano, então n = 52 :

A 3 = 1000 1 + 0,08 n 3 n = 1000 1 + 0,08 52 3 × 52 = 1000 1,02 156 = 1271,015

( v ) diariamente: Os juros serão contabilizados 365 vezes por ano, então n = 365 :

A 3 = 1000 1 + 0,08 n 3 n = 1000 1 + 0,08 365 3 × 365 = 1271,216

( v i ) a cada hora: Os juros serão contabilizados 365 × 24 por ano, então n = 365 × 24 :

A 3 = 1000 1 + 0,08 n 3 n = 1000 1 + 0,08 365 × 24 3 × 365 × 24 = 1271,248

( v i i ) continuamente: Os juros serão contabilizados infinitas vezes ao ano, logo, o valor de n tende ao infinito. Portanto a quantia pode ser o limite:

A 3 = lim n → ∞ ⁡ 1000 1 + 0,08 n 3 n = 1000 lim n → ∞ ⁡ 1 + 0,08 n 3 n

A 3 = 1000 lim n → ∞ ⁡ 1 + 0,08 n n 3 =   1000 e 0,08 3 = 1271,24915

Passo 3

Item b:

Se n tende ao infinito quando os juros são contabilizados continuamente, então temos a fórmula genérica para isso que é dada por:

A t = A 0 e r t

Então para os juros de 6 % , 8 % e 10 % temos as respectivas funções: A t = 1000 e 0,06 t , A t = 1000 e 0,08 t e A t = 1000 e 0,1 t . Cuja representação gráfica é:

No gráfico a curva vermelha, a azul e a verde, correspondem aos juros de 6 % , 8 % e 10 % ,respectivamente.

Resposta

( i ) anualmente:   A 3 = 1259,712 .

( i i ) trimestralmente: A 3 = 1268,242 .

( i i i ) mensalmente: A 3 = 1270,237 .

( i v ) semanalmente: : A 3 = 1271,015 .

( v ) diariamente:   A 3 = 1271,216 .

( v i ) a cada hora: A 3 = 1271,248 .

( v i i ) continuamente: A 3 = 1271,24915 .

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