Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 20
(a) Se forem emprestados a de juros, encontre as quantias devidas ao fim de três anos se os juros forem compostos () anualmente, () trimestralmente, () mensalmente, () semanalmente,() diariamente, () a cada hora ou () continuamente.
(b) Suponha que sejam emprestados e que os juros sejam capitalizados continuamente. Se for a quantia devida depois de anos, em que , trace para cada uma das taxas de juros , e em uma mesma tela.
Passo 1
Item a:
Em problemas de capitalização de juros, temos a fórmula recorrente representada por:
Onde as variáveis são:
: A quantia em função do tempo;
: A quantia inicial;
: O tempo em anos;
: A taxa de juros;
: O número de capitalizações por ano.
Temos a taxa de juros de então , a quantia inicial é então e queremos saber o valor depois de anos, então, .
Desse modo obtemos a seguinte equação:
Passo 2
Agora para cada frequência de contabilização temos um deferente:
() anualmente: Os juros serão contabilizados uma vez por ano, então :
() trimestralmente: Os juros serão contabilizados quatro vezes por ano, então :
() mensalmente: Os juros serão contabilizados doze vezes por ano, então :
() semanalmente: Os juros serão contabilizados vezes por ano, então :
() diariamente: Os juros serão contabilizados vezes por ano, então :
() a cada hora: Os juros serão contabilizados por ano, então :
() continuamente: Os juros serão contabilizados infinitas vezes ao ano, logo, o valor de tende ao infinito. Portanto a quantia pode ser o limite:
Passo 3
Item b:
Se tende ao infinito quando os juros são contabilizados continuamente, então temos a fórmula genérica para isso que é dada por:
Então para os juros de , e temos as respectivas funções: , e . Cuja representação gráfica é:
No gráfico a curva vermelha, a azul e a verde, correspondem aos juros de , e ,respectivamente.
Resposta
() anualmente:.
() trimestralmente: .
() mensalmente: .
() semanalmente: : .
() diariamente:.
() a cada hora: .
() continuamente: .
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