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Dois pontos, A e B , são diametralmente opostos nas praias de um lago circular com 1 km de diâmetro. Uma pessoa deseja ir do ponto A ao ponto B . Ela pode remar a uma velocidade de 1 1 2 km/h e andar a uma velocidade de 5 km/h. Acha qual o menor tempo gasto para ir de A

Até B .

Passo 1

Esse vai ser um problema de otimização, (achar o menor tempo). A primeira coisa a tentar se fazer neste tipo de questão é um esboço do que está acontecendo, olhem na imagem abaixo como facilita o entendimento.

Vamos supor que uma pessoa vai de A ao ponto B sendo esses pontos diametralmente opostos, ok? Essa pessoa pode remar e também pode andar. Remando ela pode “cortar caminho” e andando tem que ser pela circunferência. Então vamos supor que ela irá remar de A até P e andar de P até B , poderia ser o contrário também.

Como vocês podem ver na figura acima, formamos justamente um triângulo retângulo, pois A P B ^ = π 2 rad é um ângulo inscrito, ou seja, é metade da medida do arco correspondente, que é π rad.

Passo 2

Vamos achar agora a expressão que dá o tempo de percurso, lembre-se que tempo é a distância percorrida dividida pela velocidade. Observando na figura anterior, o tempo de percurso pode ser dado por f = A + B .

Onde A = tempo remando e B = tempo andando. E podemos escrever o seguinte

f = A + B = C o m p r i m e n t o   d e   A P V e l o c i d a d e   r e m a n d o + C o m p r i m e n t o   d o   A r c o   P B V e l o c i d a d e   a n d a n d o

Como vocês viram, agora vamos precisar achar o comprimento do arco ( P B ) .

Passo 3

Temos da figura acima que o ângulo P C B ^ = 2 θ , pois é ângulo central com ângulo inscrito sendo P A B ^ = θ , ou seja,

P C B 2 ^ = P A B ^ = θ   →       P C B ^ = 2 θ

Sabemos também que a medida do comprimento de um arco é dada pelo seu ângulo central em radiano vezes o valor do raio. Então o valor do comprimento do arco A B é dado por:

A B = 2 θ ⋅ r = 2 θ ⋅ 1 2 = θ  

Lembre-se que a circunferência tem diametro 1 , então seu raio é 1 2 .

Podemos concluir também que cos ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a = x 1 = x , sendo assim:

θ = cos - 1 ⁡ x

E temos que o comprimento do arco A B é cos - 1 ⁡ x .

Passo 4

Agora vamos voltar na fórmula do tempo de percurso:

f = C o m p r i m e n t o   d e   A P V e l o c i d a d e   r e m a n d o + C o m p r i m e n t o   d o   A r c o   P B V e l o c i d a d e   a n d a n d o

Comprimento de A P é x e a velocidade nadando é 1 1 2 = 2 + 1 2 = 3 2 km/h. O comprimento do arco P B é cos - 1 ⁡ x e a velocidade andando é 5 km/h. Sendo assim,

f = x 3 2 + cos - 1 ⁡ x 5 = 2 x 3 + cos - 1 ⁡ x 5

f x = 2 x 3 + cos - 1 ⁡ x 5

É a fórmula que nos dá o tempo de percurso com x ∈ [ 0,1 ] , pois o comprimento de A P é menor ou igual ao diâmetro.

Passo 5

Utilizando a fórmula anterior, nós vamos derivar a função duas vezes para ver como ela se comporta:

f ' x = d d x 2 x 3 + cos - 1 ⁡ x 5 = 2 3 + - 1 5 1 - x 2

Aqui usamos ( cos - 1 ⁡ x ) ' = - 1 1 - x 2 .

d d x f ' x = d d x - 1 5 1 - x 2 - 1 2 = - 1 5 - 3 2 1 - x 2 - 3 2 ( 1 - x 2 ) '

Acima foi utilizada a derivada de x n para n = - 1 2 com a regra da cadeia.

d d x f ' x = 3 10 ⋅ - 2 x 1 - x 2 3 2 = - 3 x 5 1 - x 2 3 2

f ' ' x = - 3 x 5 1 - x 2 3 2

É importante que vocês percebam que f ' ' x < 0 para todo x ∈ [ 0,1 ] e isso indica que a nossa função tem concavidade para baixo em todo esse intervalo. É importante entender que neste caso o mínimo absoluto ocorrerá em algum extremo do intervalo, ok? Acontece algo como abaixo:

Passo 6

Agora testamos os extremos do intervalo x = 0 e x = 1 para ver qual deles leva ao menor valor de f x = 2 x 3 + cos - 1 ⁡ x 5   .

f 0 = 0 + cos - 1 ⁡ 0 5 = π 5 ⋅ 2 = π 10

e

f 1 = 2 3 + cos - 1 ⁡ 1 5 = 2 3 + 0 = 2 3

Temos que π 10 < 2 3   →     f 0 < f ( 1 ) . Logo, o menor tempo gasto para ir de A Até B é π 10 horas. Ele vai totalmente a pé, pois x = 0 . Bacana, né?

Resposta

Menor tempo gasto π 10 horas.

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Resolva o exercício 54 da série de exercícios 8.1, mostrando que arcta
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