Enunciado

Um balde de 1,5   k g contendo 10   k g de água está pendurado na ponta de uma corda de 7   m que pesa 50   g / m . A outra extremidade da corda está presa em uma roldana. Qual é o trabalho requerido para içar toda a corda para cima, enrolando-a na roldana, se a corda for içada a uma taxa de 0,7   m / s e se, enquanto o balde for içado, a água vaza do balde a uma taxa de 250   g / s ?

Passo 1

Vamos usar nossa criatividade para interpretar esse problema. Temos essa situação:

Queremos o trabalho para içar toda a corda. Podemos cortar nosso comprimento da corda em fatias bem fininhas e considerar que a força para mover uma fatia é constante e deve superar a força peso.

Aí lembramos que para uma força constante:

W c o r d a = F f a t i a d

Para descobrimos o trabalho total, devemos somar o trabalho realizado em cada fatia.

Mas a gente lembra que tem um balde com água também, que vai perdendo massa, ou seja, a força peso dele vai variando. E se a gente tem uma força que varia:

W b a l d e = ∫ a b F b a l d e x d x

Para achar o trabalho requerido, devemos somar o trabalho realizado em na corda e no balde. Vamos lá!

Passo 2

Vamos descobrir o valor da força por fatia.

Já que nossas fatias são bem finas, podemos dizer que elas têm um comprimento infinitesimal d x .

Para achar a massa, podemos multiplicar o comprimento pela densidade de massa da corda que é igual a 50 g / m = 0,05 k g / m .

m = 0,05 ⋅ c o m p r i m e n t o = 0,05 d x  

E como queremos que a força por fatia supere a força peso:

F f a t i a = P = m g = 0 , 4905 d x  

Passo 3

Precisamos entender agora como é o nosso valor de d para cada fatia:

Repara que podemos escrever:

d = 7 - x  

Sendo que x vai de 0 a   7   m .

Passo 4

O trabalho fica com essa carinha:

W c o r d a = F d = 0,4905 d x   ⋅ 7 - x = 0,4905 ( 7 - x ) d x  

Mas queremos o trabalho total. Lembra que integrar também é calcular somatório:

W t o t a l   d a   c o r d a = ∫ 0 7 0,4905 ( 7 - x ) d x = 12,017 J

Passo 5

Vamos pensar agora no trabalho para levantar o balde:

W b a l d e = ∫ a b F b a l d e x d x

A gente quer levantar ele de a = 0 para b = 7   m . Mas quem é F b a l d e ( x ) ?

O enunciado diz que a taxa de variação da altura é 0,7   m / s , enquanto a taxa de variação da massa do balde é 0,25 k g / s . Se dividimos esses valores um pelo outro a gente a acha a taxa de variação da massa pela altura:

d m a s s a d t d x d t = d m a s s a d x = 0,25 0,7 = 0,357 g / m

Podemos escrever assim uma expressão para a massa do balde em função de x :

m a s s a = ( 11,5 - 0,357 ⋅ 10 - 3 x ) k g m

F x b a l d e = P = m g = 104,65 - 3,5 ⋅ 10 - 3 x

Passo 6

Agora só calcular a integral:

W b a l d e = ∫ 0 7 104,65 - 3,5 ⋅ 10 - 3 x   d x = 732 , 46   J

E calculando o trabalho total:

W t o t a l = W b a l d e + W t o t a l   d a   c o r d a = 744,477   J

Resposta

W t o t a l = 744,477   J

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