Enunciado

(x^2 + y) + (x + e^y) (d y)/(d x) = 0

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro ajeitar nossa equação.

(x^2 + y) d x + ( x + e^y ) d y = 0

Assim tome

(del (x + e^y))/(del x) - (del (x^2 + y))/(del y) = 1 - 1 = 0

Ou seja, nossa função é exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = x^2 + y

E

(del varphi)/(del y) = x + e^y

Assim temos que

varphi = int (x^2 + y) d x = (x^3)/(3) + x y + C ( y )

Onde se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar x + e^y como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) ((x^3)/(3) + x y + C ( y )) = x + C^' (y) = x + e^y

Desta forma temos que C^' (y) = e^y -> C (y) = e^y + C e nossa solução é

varphi (x , y) = (x^3)/(3) + x y + e^y + C = 0

Resposta

varphi (x , y) = (x^3)/(3) + x y + e^y + C = 0

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