(x^2 + y) + (x + e^y) dy/dx = 0

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro ajeitar nossa equação.

x 2 + y d x + ( x + e y ) d y = 0

Assim tome

∂ x + e y ∂ x - ∂ x 2 + y ∂ y = 1 - 1 = 0

Ou seja, nossa função é exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = x 2 + y

E

∂ ϕ ∂ y = x + e y

Assim temos que

ϕ = ∫ x 2 + y d x = x 3 3 + x y + C ( y )

Onde se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar x + e y como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y x 3 3 + x y + C ( y ) = x + C ' y = x + e y

Desta forma temos que C ' y = e y → C y = e y + C e nossa solução é

ϕ x , y = x 3 3 + x y + e y + C = 0

Resposta

ϕ x , y = x 3 3 + x y + e y + C = 0

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