(2x/y - y/(x^2 + y^2)) + (x/(x^2 + y^2) - x^2/y^2) dy/dx = 0

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como

x y - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 - x 2 y 2 d y = 0

Agora vamos aplicar a relação do passo anterior, onde

∂ ∂ x x x 2 + y 2 - x 2 y 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 - 2 x y 2 = ∂ ∂ y x y - y x 2 + y 2

Na qual pode se ver que nossa função é exata.

Neste ponto podemos partir para resolver nossa equação diferencial e achar nossa solução.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = x y - y x 2 + y 2

E

∂ ϕ ∂ y = x x 2 + y 2 - x 2 y 2

Assim temos que

ϕ = ∫ x y - y x 2 + y 2 d x = x 2 y - arctan ⁡ x y + C ( y )

Agora se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar x x 2 + y 2 - x 2 y 2 como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y - arctan ⁡ x y + C ( y ) = - x 2 y 2 - y 2 x 2 + y 2 - x y 2 + C ' y = x x 2 + y 2 - x 2 y 2

Desta forma temos que C ' y = 0 → C y = C e nossa solução é

ϕ x , y = x 2 y - arctan ⁡ x y + C = 0

Resposta

ϕ x , y = x 2 y - arctan ⁡ x y + C = 0

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