x dy/dx + 2y = sen x/x^2, y(2) = 1

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro ajeitar nossa equação.

2 y x - s e n   x x 2 d x + d y = 0

Assim tome

∂ 1 ∂ x - ∂ 2 y x - s e n   x x 2 ∂ y = 2 x

Ou seja, nossa função não é exata. Então devemos achar um fator integrante para nos ajudar.

Dividindo nosso resultado por N temos que obtemos uma função só de x

Assim temos que

μ x = exp ⁡ ∫ 2 x d x = exp ⁡ ln ⁡ x 2 = x 2

Assim ficamos com

x 2 d y + 2 x y - s e n   x d x = 0

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema de valor inicial achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = ( 2 x y - s e n   x )

E

∂ ϕ ∂ y = x 2

Assim temos que

ϕ = ∫ 2 x y - s e n   x d x = x 2 y + cos ⁡ x + C ( y )

Onde se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar x 2 como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y + cos ⁡ x + C y = x 2 + C ' y = x 2

Desta forma temos que C ' y = 0 → C y = C e nossa solução é

ϕ x , y = y x 2 + cos ⁡ x + C = 0

Tomando o valor inicial y 2 = 1

Então

2 1 1 + cos ⁡ 1 + C = 0

Tendo C = - 2 - cos ⁡ 1

Assim nossa solução será

y x 2 + cos ⁡ x - 2 - cos ⁡ 1 = 0

Resposta

y x 2 + cos ⁡ x - 2 - cos ⁡ 1 = 0

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