dy/dx = (3x^2 - 2y - y^3) / (2x + 3x\*y^2)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como

y 3 + 2 y - 3 x 2 d x + 2 x + 3 x y 2 d y = 0

Agora podemos verificar se ela é exata.

∂ ∂ x 2 x + 3 x y 2 - ∂ ∂ y y 3 + 2 y - 3 x 2 = 2 + 3 y 2 - 3 y 2 + 2 = 0

Ou seja, podemos partir para achar a solução

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = y 3 + 2 y - 3 x 2

E

∂ ϕ ∂ y = 2 x + 3 x y 2

Assim temos que

ϕ = ∫ y 3 + 2 y - 3 x 2 d x = x y 3 + 2 x y - x 3 + C ( y )

Onde se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar 2 x + 3 x y 2   como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y x y 3 + 2 x y - x 3 + C ( y ) = 3 x y 2 + 2 x + C ' y = 2 x + 3 x y 2

Desta forma temos que C ' y = 0 → C y = C e nossa solução é

ϕ x , y = x y 3 + 2 x y - x 3 + C = 0

Resposta

x y 3 + 2 x y - x 3 + C = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados