Enunciado

(d y)/(d x) = (3 x^2 - 2 y - y^3)/(2 x + 3 x y^2)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como

(y^3 + 2 y - 3 x^2) d x + (2 x + 3 x y^2) d y = 0

Agora podemos verificar se ela é exata.

(del)/(del x) (2 x + 3 x y^2) - (del)/(del y) (y^3 + 2 y - 3 x^2) = 2 + 3 y^2 - (3 y^2 + 2) = 0

Ou seja, podemos partir para achar a solução

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função varphi ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

(del varphi)/(del x) = y^3 + 2 y - 3 x^2

E

(del varphi)/(del y) = 2 x + 3 x y^2

Assim temos que

varphi = int (y^3 + 2 y - 3 x^2) d x = x y^3 + 2 x y - x^3 + C ( y )

Onde se derivarmos nosso varphi deveríamos encontrar 2 x + 3 x y^2 como sugere nossa equação diferencial.

(del varphi)/(del y) = (del)/(del y) (x y^3 + 2 x y - x^3 + C ( y )) = 3 x y^2 + 2 x + C^' (y) = 2 x + 3 x y^2

Desta forma temos que C^' (y) = 0 -> C (y) = C e nossa solução é

varphi (x , y) = x y^3 + 2 x y - x^3 + C = 0

Resposta

x y^3 + 2 x y - x^3 + C = 0

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