dy/dx = (e^(-x) \* cos(y) - e^(2y) \* cos(x)) / (-e^(-x) \* sen y + 2e^(2y) \* sen x)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Como este é um problema que não podemos usar a ideia de separação de variáveis, vamos ajeitá-lo para verificar se a equação é exata.

Assim temos

e 2 y cos ⁡ x - e - x cos ⁡ y d x + - e - x s e n y + 2 e 2 y   s e n   x d y = 0

Assim temos que

∂ ∂ x - e - x s e n   y + 2 e 2 y s e n x = e - x s e n   y + 2 e 2 y cos ⁡ x = ∂ ∂ y e 2 y cos ⁡ x - e - x cos ⁡ y

Ou seja, nossa equação é dita exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = e 2 y cos ⁡ x - e - x cos ⁡ y

E

∂ ϕ ∂ y = - e - x s e n y + 2 e 2 y   s e n   x

Assim temos que

ϕ = ∫ e 2 y cos ⁡ x - e - x cos ⁡ y d x = e 2 y s e n   x + e - x cos ⁡ y + C ( y )

Onde se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar - e - x s e n y + 2 e 2 y   s e n   x como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y e 2 y s e n   x + e - x cos ⁡ y + C ( y ) = 2 e 2 y s e n   x - e - x s e n   y + C ' y = - e - x s e n y + 2 e 2 y   s e n   x

Desta forma temos que C ' y = 0 → C y = C e nossa solução é

ϕ x , y = e 2 y s e n   x + e - x cos ⁡ y + C = 0

Resposta

e 2 y s e n   x + e - x cos ⁡ y + C = 0

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