9 - dx/dt = y(2 - x - y), dy/dt = -x - y - 2xy

Passo 1

  1. As equações dadas são:

d x d t = y 2 - x - y   e   d y d t = - x - y - 2 x y

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

d x d t = 0 = d y d t

Isso é,

y 2 - x - y = 0

- x - y - 2 x y = 0

Se y = 0 temos x = 0

E se y ≠ 0 , então:

x + y = 2 e x + y + 2 x y = 0

x = 2 - y e y 2 - 2 y - 1 = 0

y = 1 ± 2

x = 1 ± 2

Portanto, os pontos críticos são:

0,0 , 1 + 2 ,   1 - 2 , 1 - 2 , 1 + 2

Passo 2

b) Campo de direção do sistema fornecido:

O retrato da fase para o sistema pode ser desenhado como abaixo:

Passo 3

c) A partir das parcelas acima, podemos ver que o comportamento próximo à origem é o de uma espiral estável. Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é assintoticamente estável e, portanto, é afundado em espiral. No ponto crítico  ( 1 - 2 , 1 + 2 ) , as trajetórias se assemelham àquelas próximas a uma sela. Portanto, o ponto crítico  ( 1 - 2 , 1 + 2 ) é instável.

No ponto crítico  ( 1 + 2 , 1 - 2 ) , as trajetórias se assemelham àquelas próximas a uma sela. Portanto, o ponto crítico  ( 1 + 2 , 1 - 2 ) também é instável.

Passo 4

d) A bacia de atração de um ponto crítico assintoticamente estável é o conjunto de todos os pontos ao redor do ponto crítico a partir do qual a solução convergirá para o ponto crítico. Portanto, a partir do gráfico acima, a bacia de atração para o ponto crítico assintoticamente estável  ( 0,0 ) é o primeiro quadrante.

Resposta

  1. Os pontos críticos: 0,0 , 1 + 2 ,   1 - 2 , 1 - 2 , 1 + 2
  2. O retrato da fase para o sistema pode ser desenhado como abaixo:

     

  3. O ponto crítico  ( 1 - 2 , 1 + 2 ) é um ponto de sela instável.
  4. O ponto crítico  0 , 0 é o ponto de espiral e é assintoticamente estável.

    O ponto crítico  ( 1 + 2 , 1 - 2 ) é um ponto de sela e instável.

  5. A bacia de atração de um ponto crítico assintoticamente estável é o conjunto de todos os pontos ao redor do ponto crítico a partir do qual a solução convergirá para o ponto crítico. Portanto, a partir do gráfico acima, a bacia de atração para o ponto crítico assintoticamente estável  ( 0,0 ) é o primeiro quadrante.
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