Enunciado

9 - (d x)/(d t) = y (2 - x - y) , (d y)/(d t) = - x - y - 2 x y

Passo 1

  1. As equações dadas são:

(d x)/(d t) = y (2 - x - y) e (d y)/(d t) = - x - y - 2 x y

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

Isso é,

y (2 - x - y) = 0

- x - y - 2 x y = 0

Se y = 0 temos x = 0

E se y != 0 , então:

x + y = 2 e x + y + 2 x y = 0

x = 2 - y e y^2 - 2 y - 1 = 0

y = 1 +- sqrt(2)

x = 1 +- sqrt(2)

Portanto, os pontos críticos são:

(0,0) , (1 + sqrt(2) , 1 - sqrt(2)) , (1 - sqrt(2) , 1 + sqrt(2))

Passo 2

b) Campo de direção do sistema fornecido:

O retrato da fase para o sistema pode ser desenhado como abaixo:

Passo 3

c) A partir das parcelas acima, podemos ver que o comportamento próximo à origem é o de uma espiral estável. Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é assintoticamente estável e, portanto, é afundado em espiral. No ponto crítico  ( 1 - sqrt(2) , 1 + sqrt(2) ) , as trajetórias se assemelham àquelas próximas a uma sela. Portanto, o ponto crítico  ( 1 - sqrt(2) , 1 + sqrt(2) ) é instável.

No ponto crítico  ( 1 + sqrt(2) , 1 - sqrt(2) ) , as trajetórias se assemelham àquelas próximas a uma sela. Portanto, o ponto crítico  ( 1 + sqrt(2) , 1 - sqrt(2) ) também é instável.

Passo 4

d) A bacia de atração de um ponto crítico assintoticamente estável é o conjunto de todos os pontos ao redor do ponto crítico a partir do qual a solução convergirá para o ponto crítico. Portanto, a partir do gráfico acima, a bacia de atração para o ponto crítico assintoticamente estável  ( 0,0 ) é o primeiro quadrante.

Resposta

  1. Os pontos críticos: (0,0) , (1 + sqrt(2) , 1 - sqrt(2)) , (1 - sqrt(2) , 1 + sqrt(2))
  2. O retrato da fase para o sistema pode ser desenhado como abaixo:

     

  3. O ponto crítico  ( 1 - sqrt(2) , 1 + sqrt(2) ) é um ponto de sela instável.
  4. O ponto crítico  (0 , 0) é o ponto de espiral e é assintoticamente estável.

    O ponto crítico  ( 1 + sqrt(2) , 1 - sqrt(2) ) é um ponto de sela e instável.

  5. A bacia de atração de um ponto crítico assintoticamente estável é o conjunto de todos os pontos ao redor do ponto crítico a partir do qual a solução convergirá para o ponto crítico. Portanto, a partir do gráfico acima, a bacia de atração para o ponto crítico assintoticamente estável  ( 0,0 ) é o primeiro quadrante.
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6 - (d x)/(d t) = 1 + 2 y , (d y)/(d t) = 1 - 3 x^2
8 - (d x)/(d t) = - (2 + y) (x + y) , (d y)/(d t) = - y ( 1 - x )
3 - d x d t = - y ,d y d t = x ; x 0 = 4 , y 0 = 0ex 0 = 0 ,y 0 = 4.
4 - (d x)/(d t) = a y , (d y)/(d t) = - b x ; a0 , b0 ; x (0) = sqrt(a) , y (0) = 0 .
7 - d x d t = 2 x - x 2 - x y , d y d t = 3 y - 2 y 2 - 3 x y