13 - (dx/dt) = (2 + x)(y - x), (dy/dt) = (4 - x)(y + x)

Passo 1

As equações dadas são:

d x d t = ( 2 + x ) ( y - x )   e   d y d t = ( 4 - x ) ( y + x )

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

d x d t = 0 = d y d t

O objetivo é encontrar todos os pontos críticos do sistema acima.

Agora, para os pontos críticos,

2 + x y - x = 0 … … .   ( 1 )

E,

4 - x y + x = 0 … … . ( 2 )

Agora a equação ( 1 ) implica que,

y = x   ou x = - 2

E a equação ( 2 ) implica que,

y = - x ou x = 4

Portanto, existem apenas três possibilidades, como mostrado abaixo:

A primeira possibilidade é quando,  y = x e y = - x então, isso implica que x = 0 e y = 0 .

A segunda possibilidade é,  y = x e x = 4 então isso implica que  x = 4 e y = 4 .

A terceira e a última possibilidade é,  x = - 2 e y = - x então isso implica que  x = - 2 , y = 2 .

Portanto, os pontos críticos são:

0,0 , 4 , 4 , ( - 2 , 2 )

Passo 2

b) Observe que o gráfico de fase está no intervalo,  - 10 ≤ x ≤ 10 ,   - 10 ≤ y ≤ 10 conforme descrito abaixo:

Passo 3

c)

Para o ponto crítico ( 0,0 ) todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.

Para o ponto crítico,  ( 4,4 ) é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.

Para o ponto crítico,  ( - 2,2 ) todas as trajetórias estão se afastando dos pontos fixos e parecem estar cruzadas lá, portanto, este é um nó Instável.

Passo 4

d) Por esta nota que, como existe apenas uma Espiral Assintoticamente Estável, portanto, a bacia de atração é  ( 4,4 ) .

Resposta

  1. pontos críticos   0,0 , 4 , 4 , ( - 2 , 2 )
  2. O campo de direção é mostrado abaixo:
  3. O ponto crítico 0 , 0 é um ponto de sela instável.

O ponto crítico 4 , 4 é um ponto de espiral e assintoticamente estável.

O ponto crítico - 2 , 2 é um nó instável.

d) Por esta nota que, como existe apenas uma Espiral Assintoticamente Estável, portanto, a bacia de atração é  ( 4,4 ) .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados