Enunciado

13 - (d x)/(d t) = ( 2 + x ) ( y - x ) , (d y)/(d t) = ( 4 - x ) ( y + x )

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = ( 2 + x ) ( y - x ) e (d y)/(d t) = ( 4 - x ) ( y + x )

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

O objetivo é encontrar todos os pontos críticos do sistema acima.

Agora, para os pontos críticos,

(2 + x) (y - x) = 0 ... ... . ( 1 )

E,

(4 - x) (y + x) = 0 ... ... . ( 2 )

Agora a equação ( 1 ) implica que,

y = x ou x = - 2

E a equação ( 2 ) implica que,

y = - x ou x = 4

Portanto, existem apenas três possibilidades, como mostrado abaixo:

A primeira possibilidade é quando,  y = x e y = - x então, isso implica que x = 0 e y = 0 .

A segunda possibilidade é,  y = x e x = 4 então isso implica que  x = 4 e y = 4 .

A terceira e a última possibilidade é,  x = - 2 e y = - x então isso implica que  x = - 2 , y = 2 .

Portanto, os pontos críticos são:

(0,0) , (4 , 4) , ( - 2 , 2 )

Passo 2

b) Observe que o gráfico de fase está no intervalo,  - 10 <= x <= 10 , - 10 <= y <= 10 conforme descrito abaixo:

Passo 3

c)

Para o ponto crítico ( 0,0 ) todas as trajetórias estão se afastando das soluções de equilíbrio, portanto, este é um ponto de sela instável.

Para o ponto crítico,  ( 4,4 ) é óbvio que todas as trajetórias são em forma de espiral e convergem para o ponto fixo, portanto, essa é uma espiral assintoticamente estável.

Para o ponto crítico,  ( - 2,2 ) todas as trajetórias estão se afastando dos pontos fixos e parecem estar cruzadas lá, portanto, este é um nó Instável.

Passo 4

d) Por esta nota que, como existe apenas uma Espiral Assintoticamente Estável, portanto, a bacia de atração é  ( 4,4 ) .

Resposta

  1. pontos críticos (0,0) , (4 , 4) , ( - 2 , 2 )
  2. O campo de direção é mostrado abaixo:
  3. O ponto crítico (0 , 0) é um ponto de sela instável.

O ponto crítico (4 , 4) é um ponto de espiral e assintoticamente estável.

O ponto crítico (- 2 , 2) é um nó instável.

d) Por esta nota que, como existe apenas uma Espiral Assintoticamente Estável, portanto, a bacia de atração é  ( 4,4 ) .

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3 - d x d t = - y ,d y d t = x ; x 0 = 4 , y 0 = 0ex 0 = 0 ,y 0 = 4.
4 - d x d t = a y ,d y d t = - b x ; a0 ,b0 ; x 0 = a ,y 0 = 0 .
7 - d x d t = 2 x - x 2 - x y , d y d t = 3 y - 2 y 2 - 3 x y
12 - d x d t = y , d y d t = y - 1 6 x 3 - 1 5 y