Enunciado

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = e x y z ,     2 x 2 + y 2 + z 2 = 24

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:

∇ f x , y =   λ ∇ g ( x , y )

y z e x y z ,   x z e x y z ,   x y e x y z = λ ( 4 x , 2 y , 2 z )

Beleza, daqui a gente tira que:

y z e x y z = λ 4 x

x z e x y z = λ 2 y

x y e x y z = λ 2 z

E precisamos que

2 x 2 + y 2 + z 2 = 24

Vamos isolar o λ ...

Passo 2

λ = y z e x y z 4 x = x z e x y z 2 y = x y e x y z 2 z

y z 4 x = x z 2 y = x y 2 z

(estamos considerando que x ,   y   e   z são diferentes de zero)

Vamos separar pra ficar mais fácil...

y z 4 x = x z 2 y → 4 x 2 z = 2 y 2 z

4 x 2 = 2 y 2 → y 2 = 2 x 2

E...

x z 2 y = x y 2 z → 2 x z 2 = 2 y 2 x

2 z 2 = 2 y 2 → z 2 = y 2

Agora a gente joga tudo em função de y na equação   2 x 2 + y 2 + z 2 = 24

y 2 + y 2 + y 2 = 24

3 y 2 = 24

y 2 = 8

y = ± 8 = ± 2 2

E aí o x   e   z :

2 x 2 = 8 → x 2 = 4 → x = ± 2

z 2 = 8 → z = ± 2 2

Passo 3

Os pontos que nós vamos considerar então são:

- 2 , - 2 2 ,   - 2 2 ,   - 2 ,   - 2 2 ,   2 2 ,   - 2 ,   2 2 ,   2 2 ,

  2 ,   - 2 2 ,   - 2 2 , 2 ,   2 2 ,   - 2 2 ,   2 ,   2 2 ,   2 2  

Vamos ver o valor da função f nesses pontos agora...

  • f - 2 , - 2 2 ,   - 2 2 = f - 2,2 2 ,   2 2 =   f 2,2 2 ,   - 2 2 =   - 16
  • f - 2 , - 2 2 ,   2 2 = f 2 , - 2 2 ,   - 2 2 = f 2 ,   2 2 ,   2 2 = 16

Ou seja, o valor mínimo da função na restrição dada é - 16 , e o valor máximo é 16 .

Resposta

- 16   e   16

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