Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 18, encontre a transformada de Laplace da função dada.

f t = 0 ,   t < π t - π , π ≤ t ≤ 2 π 0 ,   t ≥ 2 π

Passo 1

Primeiro, devemos converter essa função em degraus do tipo u c ( t ) em f ( t ) . Analisaremos a função em dois passos.

f t = 0 ,   t < π t - π , π ≤ t ≤ 2 π 0 ,   t ≥ 2 π

No primeiro passo, a função é dada pela constante zero em t < π . Quando t > 1 ela toma a forma de   t - π , para c = π . No passo c = 2 π , ela zera, então deve possuir - t + π Então f ( t ) será :

f t = t - π u π t - u 2 π ( t ) ( t - π )

Podemos reescrever na forma reduzida como:

Temos uma propriedade de Laplace, usando o temorema 6.3 . 1 temos que:

L u c t f t - c = e - c s L f t

E também a propriedade que diz que :

L t n = n ! s n + 1

Então:

L t - π u π t - L u 2 π t t - π

Calculando separadamente, temos que:

L t - π u π t = e - π s . 1 s 2

Agora o outro termo:

L u 2 π t t - π

Perceba que não está respeitando a regra L u c t f t - c = e - c s L f t , já que π ≠ 2 π . Para isso, precisaremos fazer algumas transformações:

u 2 π t t - π

Pode ser reescrito como:

u 2 π t t - π + π - π

Que será :

u 2 π t t - 2 π + π

Podemos separar em:

u 2 π t t - 2 π + π u 2 π t

Aplicando Laplace, temos que:

L u 2 π t t - π = π e - 2 π s s + e - 2 π s s 2

Juntando tudo, temos que:

L t - π u π t - L u 2 π t t - π = e - π s . 1 s 2 - π e - 2 π s s - e - 2 π s s 2

Resposta

L t - π u π t - L u 2 π t t - π = e - π s . 1 s 2 - π e - 2 π s s - e - 2 π s s 2

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