Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 12:

(a) Esboce o gráfico da função dada.

(b) Expresse   f ( t ) em termos da função degrau unitário  u c ( t ) .

f t = 1 ,   0 ≤ t < 1 - 1 ,   1 ≤ t < 2 1 ,   2 ≤ t < 3 - 1 ,   3 ≤ t < 4 0 ,   t ≥ 4

Passo 1

O primeiro passo do exercício será esboçar a função com base nas funções por parte dadas.

f t = 1 ,   0 ≤ t < 1 - 1 ,   1 ≤ t < 2 1 ,   2 ≤ t < 3 - 1 ,   3 ≤ t < 4 0 ,   t ≥ 4

Montaremos o gráfico analisando o comportamento da função nos intervalos dados. Quando a função é uma constante 1 quando está entre 0 e 1,a função descresce e se comporta como uma constante -1 entre 1 e 2, entre 2 e 3 a função cresce e é a constante positiva 1,quando a função está entre 3 e 4 ela decresce -1. Em t maior que 4 a função cresce e se torna constante em 0.

Passo 2

(b) Para descobrir qual é a função f t envolvida em termos de degrau unitários u c .

Para isso, vamos das atenção a cada uma das etapas que foram apresentadas nos degraus. Analisando de modo geral:

f t = 1 ,   0 ≤ t < 1 - 1 ,   1 ≤ t < 2 1 ,   2 ≤ t < 3 - 1 ,   3 ≤ t < 4 0 ,   t ≥ 4

Foram apresentados intervalos em alguns cenários, onde define-se entre 0 e 1, 1 e 2, 2 e 3, 3 e 4, maior que 4. Isso significa que esses pontos extremos dos intervalos, são nossos respectivos c .

Então, temos: c = 1 , c = 2 , c = 3 , c = 4 . Isso significa que temos u 1 , u 2 , u 3   e   u 4 .

Analisando agora as etapas em si.

Quando 0 ≤ t < 1 recebe o valor de uma constante no intervalo, isso significa que é vale o valor da constante 1.

Quando aumentamos o intervalo 1 ≤ t < 2 , a função cai em 2 pontos de 1 para -1. Isso acontece quando temos um valor de c = 1 caindo em dois pontos:

- 2 u 1 ( t )

No próximo intervalo, a função cresce em 2 pontos, e vai de -1 para 1, quando c = 2 :

+ 2 u 2 ( t )

No próximo intervalo, a função decresce em 2 pontos, e vai de 1 para -1, quando c = 3 :

- 2 u 3 ( t )

A função cresce em uma unidade no último passo, quando vai de -1 para 0, quando c = 4 .

u 4 ( t )

Juntando os termos temos:

f t = 1 - 2 u 1 t + 2 u 2 ( t ) - 2 u 3 ( t ) + u 4 ( t )

Resposta

f t = 1 - 2 u 1 t + 2 u 2 ( t ) - 2 u 3 ( t ) + u 4 ( t )

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