Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 12:

(a) Esboce o gráfico da função dada.

(b) Expresse   f ( t ) em termos da função degrau unitário  u c ( t ) .

f t = t ,   0 ≤ t < 2 2 ,   2 ≤ t < 5 7 - t ,   5 ≤ t < 7 0 ,   t ≥ 7

Passo 1

O primeiro passo do exercício será esboçar a função com base nas funções por parte dadas.

f t = t ,   0 ≤ t < 2 2 ,   2 ≤ t < 5 7 - t ,   5 ≤ t < 7 0 ,   t ≥ 7

Montaremos o gráfico analisando o comportamento da função nos intervalos dados. Quando a função é uma constante t quando está entre 0 e 2,a função cresce em 2 pontos entre 2 e 5, entre 5 e 7 a funçãose comporta como 7 - t , em t maior que 7 a função decai e se torna constante em 0.

Passo 2

(b) Para descobrir qual é a função f t envolvida em termos de degrau unitários u c .

Para isso, vamos das atenção a cada uma das etapas que foram apresentadas nos degraus. Analisando de modo geral:

f t = t ,   0 ≤ t < 2 2 ,   2 ≤ t < 5 7 - t ,   5 ≤ t < 7 0 ,   t ≥ 7

Foram apresentados intervalos em alguns cenários, onde define-se entre 0 e 2, 2 e 5, 5 e 7, 7. Isso significa que esses pontos extremos dos intervalos, são nossos respectivos c .

Então, temos: c = 2 , c = 5 e c = 7 . Isso significa que temos u 2 , u 5 e u 7 .

Analisando agora as etapas em si.

Quando 0 ≤ t < 2 recebe o valor de uma constante t no intervalo.

Quando aumentamos o intervalo 2 ≤ t < 5 , ela se torna constante em 2 e deixa de ser t . Isso acontece quando temos um valor de c = 2

u 2 ( t ) ( 2 - t )

No próximo intervalo, a função cresce em 5 pontos, de 2 - t para 7 - t . Com c = 5 .

u 5 t 7 - t - u 5 t 2 - t = u 5 t 5 - t

A função cai em uma unidade e zera no último passo, quando c = 7 .

Para zerar:

7 - t + - 7 + t = 0

Então:

u 7 ( t ) ( - 7 + t )

Juntando os termos temos:

f t = t + u 2 t 2 - t + u 5 t 5 - t + u 7 ( t ) ( - 7 + t )

Resposta

f t = t + u 2 t 2 - t + u 5 t 5 - t + u 7 ( t ) ( - 7 + t )

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