Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Cada um dos Exercícios 11-16 apresenta o gráfico de uma função y = f ( x ) . Copie o gráfico e sobreponha-o à reta y = x . Em seguida, utilize a simetria com relação à reta y = x para adicionar o gráfico de f - 1 ao seu esquema (não é necessário determinar uma fórmula para f - 1 ). Identifique o domínio e a imagem de f - 1 .

Passo 1

Então galera, assim como discutido na seção 6 do George, temos que para resolver os exercícios do 11-16 só precisamos lembrar de dois conceitinhos básicos sobre funções inversas, ok?

O primeiro conceito nos diz que o gráfico da função inversa é simétrico à reta y = x , ou seja, para encontrarmos o gráfico da função sem utilizar de cálculos, basta refletirmos o gráfico da f que nos é dada em torno da reta y = x , beleza?

O segundo conceito nos diz o seguinte:

Seja D e R o domínio e a imagem de uma função f , respectivamente, isso implica que o domínio da f - 1 passará a ser R e a imagem da f - 1 passará a ser D . Em outras palavras, as coisas só se invertem! Sabendo disso, já conseguimos resolver as questões. Bora lá!

Passo 2

A função que nos foi dada é:

f x = t g   x

Se pegarmos o gráfico dessa função e refletirmos em torno de y = x , teremos:

No qual y = x é a função pontilhada; f x é a função verde e f - 1 ( x ) é a função azul.

Passo 3

Agora que temos o gráfico das funções, vamos utilizar o segundo conceito comentado no passo 1 para descobrimos o domínio e a imagem de f - 1 ( x ) , tranquilo?

Domínio de f x = ( - π 2 , π 2 )

Imagem de f x = ( - ∞ ,   ∞ )

Domínio de f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

Imagem de f - 1 x = ( - π 2 , π 2 )

Resposta

Domínio de f - 1 x = ( - ∞ ,   ∞ )

Imagem de f - 1 x = ( - π 2 , π 2 )

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o valor exato de cada expressão.(b) arccos ⁡ - 1 2
Determine o domínio e a imagem da função g x = sin - 1 ⁡ ( 3 x + 1 )
Faça o gráfico da função f x = x 3 + x 2 + x + 1 E explique por que el
Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas,
Se g x = 3 + x + e x , ache g - 1 4 .