Enunciado

Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade:

∫ - 2 - 1 d x x ≤ ∫ - 2 - 1 ( - 1 2 - x 4 ) d x

Passo 1

Falaaaa... belezinha???

Nessa questão vamos precisar usar a proposição:

Se f e g são integráveis em a , b e f x ≥ g x para todo x em a , b , então:

∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x

Então bora botar a mão na massa...

Passo 2

Vamos pegar primeiro o que ta dentro da equção:

1 x ≤ - 1 2 - x 4

E o nosso interesse é saber se isso vale pro nosso intervalo de integração que é - 2 , - 1 .

Então resolvendo a inequação:

1 x ≤ - 1 2 - x 4

1 x + x 4 + 1 2 ≤ 0

4 + x 2 + 2 x 4 x ≤ 0

Reparaaa, mas com calma, que se formos achar as raízes de 4 + x 2 + 2 x vão ser raízes imaginárias, certo?? E lembra que isso significa, então, que 4 + x 2 + 2 x é positivo SEMPRE?

E o 4 x vai ser positivo pra x > 0 e negativo pra x < 0 .

Como o nosso intervalo é de - 2 , - 1 , então, nesse intervalo, 4 x vai ser negativo.

Como 4 + x 2 + 2 x é positivo semore, então no intervalo de - 2 , - 1 :

4 + x 2 + 2 x 4 x ≤ 0

É verdadeiro.

Portanto:

1 x ≤ - 1 2 - x 4

No intervalo de - 2 , - 1 .

Entããão:

∫ - 2 - 1 d x x ≤ ∫ - 2 - 1 ( - 1 2 - x 4 ) d x

É verdeiríssimo.

Showdi, né??? Bora pra próxima questão??

Resposta

Verdadeiro

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