Enunciado

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,   b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f   ( x )   =   x 2 . Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n   =   10 ,   50 e 100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n   =   2 ,   5   e   10 retângulos.

f x = x     ; a , b = 0,1

Passo 1

Já que vamos usar o método dos retângulos para calcular a área, vamos começar subdividindo o intervalo [ 0 ,   1 ] em n subintervalos iguais, cada um, portanto, com comprimento de 1 / n ; as extremidades dos subintervalos ocorrem em:

0 , 1 n , 2 n , 3 n ,   …   , n - 1 n ,   1  

Passo 2

A área do triângulo é b a s e a l t u r a 2 , sendo que a base de todos eles vai ser 1 n   pois dividimos o intervalo de tamanho 1 em 1 / n pedacinhos. E a altura vai ser exatamente o f ( x ) naquele ponto, ou seja, dado que f x = x ,     as alturas serão:

1 n ,   2 n   , 3 n ,   …   ,   n - 1 n ,   1

Como todas as bases dos retângulos são iguais, temos então que a área total é:

A t o t a l = 1 n +   2 n + 3 n +   … +   n - 1 n +   1   1 n

Então:

A t o t a l = ( 1 + 2 + 3 + … + n ) n   n

Passo 3

Para n = 2 :

A t o t a l = ( 1 + 2 ) 2   2 = 0.85355339

Para n = 5 :

A t o t a l = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) 5   5 = 0.749738

Para n = 10 :

A t o t a l = ( 1 + 2 + 3 + … + 10 ) 10   10 = 0,710509

Para n = 50

A t o t a l = ( 1 + 2 + 3 + … + 50 ) 50   50 = 0,676095

Para n = 100 :

A t o t a l = ( 1 + 2 + 3 + … + 100 ) 100   100 = 0,671463

Resposta

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