Enunciado

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,   b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f   ( x )   =   x 2 . Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n   =   10 ,   50 e 100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n   =   2 ,   5   e   10 retângulos.

  f x = 1 - x 2 ;   [ a ,   b ]   =   [ 0 ,   1 ]

Passo 1

Já que vamos usar o método dos retângulos para calcular a área, vamos começar subdividindo o intervalo [ 0 ,   1 ] em n subintervalos iguais, cada um, portanto, com comprimento de 1 / n ; as extremidades dos subintervalos ocorrem em:

0 , 1 n , 2 n , 3 n ,   …   , n - 1 n ,   1  

Passo 2

A área do triângulo é b a s e a l t u r a 2 , sendo que a base de todos eles vai ser 1 n   pois dividimos o intervalo de tamanho 1 em 1 / n pedacinhos. E a altura vai ser exatamente o f ( x ) naquele ponto, ou seja, dado que f x = 1 - x 2 ,     as alturas serão:

1 - 1 n 2 ,   1 - 2 n 2   , 1 - 3 n 2 ,   …   ,   1 - n - 1 n 2 ,   1 - n n 2

Organizando melhor vamos ficar com:

n 2 - 1 2 n , n 2 - 2 2 n , n 2 - 3 2 n ,   … ,   n 2 - n - 1 2 n   ,   n 2 - n 2 n

Como todas as bases dos retângulos são iguais, temos então que a área total é:

A t o t a l = n 2 - 1 2 n + n 2 - 2 2 n + n 2 - 3 2 n + …   +   n 2 - n - 1 2 n +   n 2 - n 2 n   1 n

Então:

A t o t a l = n 2 - 1 2 + n 2 - 2 2 + … +   n 2 - n 2 n 2

Passo 3

Para n = 2 :

A t o t a l = 2 2 - 1 2 + 2 2 - 2 2 2 2 =   0,433013

Para n = 5 :

A t o t a l = 5 2 - 1 2 + 5 2 - 2 2 + … +   5 2 - 5 2 5 2 =   0,659262

Para n = 10 :

A t o t a l = 10 2 - 1 2 + 10 2 - 2 2 + … +   10 2 - 10 2 10 2 =   0,726130

Para n = 50

A t o t a l = 50 2 - 1 2 + 50 2 - 2 2 + … +   50 2 - 50 2 50 2 =   0,774567

Para n = 100 :

A t o t a l = 100 2 - 1 2 + 100 2 - 2 2 + … +   100 2 - 100 2 100 2 =   0,780106

Resposta

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10. Calculei) ∫ 5 x + e - x d x
10. Calculem) ∫ cos ⁡ x + sec ⁡ x cos ⁡ x d x
10- Calcule.d) ∫ sec ⁡ xd x
10. Calculec) ∫ t g 2 x d x
15. Calcule a )∫ s e nxs e n3 xd x