Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.

x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0                     y 1 = - 1 ,   y 2 = 1

Passo 1

A equação dada é a equação de Euler. Então, teremos algo no estilo:

y = x r

Então, nós temos:

y ' = r x r - 1

y ' ' = r r - 1 x r - 2

Colocando y ,   y ' e   y ' ' na equação dada ficamos com:

x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0                    

Substituindo:

x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0                    

x 2 r r - 1 x r - 2 - 2 x r x r - 1 + 2 x r = 0

r r - 1 - 2 r + 2 = 0

r 2 - 3 r + 2 = 0

r - 2 r - 1 = 0

Consequentemente, nós temos:

r = 1

r = 2

Usando as soluções das raízes r , podemos substituir em:

y = x

y = x 2

Então, com esses valores de y conseguimos encontrar a solução geral:

y = c 1 x + c 2 x 2

Passo 2

Agora, podemos aplicar nas condições dadas, quando   y 1 = - 1   e   y 2 = 1 .

Usando a primeira condição de contorno y 1 = - 1   , teremos:

- 1 = c 1 + c 2

E também com a segunda condição de contorno y 2 = 1 , nós temos:

1 = 2 c 1 + 4 c 2

Ao resolver essas equações c 1 e c 2 , nós teremos:

c 1 = - 5 2

c 2 = 3 2

A solução geral é:

y = c 1 x + c 2 x 2

Substituindo:

y = - 5 2 x + 3 2 c 2 x 2

Resposta

y = - 5 2 x + 3 2 c 2 x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução. y ' ' + y = 0 y ( 0 ) = 0 ; y L = 0
Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais. y ' ' - λ y = 0 ; y 0 = 0 ; y ' L = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução. y ' ' + y = 0 y ' ( 0 ) = 1 ; y L = 0
Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais. y ' ' + λ y = 0 ; y ' 0 = 0 ; y ' L = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução. y ' ' + y = x y 0 = 0;y π = 0