Enunciado

Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais.

y ' ' - λ y = 0                     ; y 0 = 0 ; y ' L = 0

Passo 1

Para encontrar os valores próprios e as funções próprias do problema de valor limite fornecido

Suponha que todos os autovalores sejam reais.

Deixe a equação de características padrão para y ' ' + λ y = 0 .

r 2 - λ = 0

Agora resolvendo a equação para λ >   0 , então λ = μ 2 . Portanto, a solução geral para essa condição será:

y x = c 1 cos ⁡ h μ x + c 2 sen ⁡ h μ x

Diferenciando, temos:

y ' x = μ c 1 sen ⁡ h μ x + μ c 2 cos ⁡ h μ x

Agora, y 0 = 0 , então :

y 0 = c 1 cos ⁡ h 0 + c 2 sen ⁡ h 0

c 1 = 0

Agora y ' L = 0 , então:

y ' L = μ c 2 cos ⁡ h μ L = 0

c 2 = 0

A solução geral y = 0 .

Também y ' L = 0 , então :

y ' L = c 1 = 0

Agora, quando:

Quando λ < 0 , então λ = - μ 2 . Certamente, a conclusão geral será:

λ

y x = c 1 cos ⁡ μ x + c 2 sen ⁡ μ x

y   ' ( x ) = - μ c 1 sen ⁡ μ x + μ c 2 cos ⁡ μ x

Quando y 0 = 0 , então:

y 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0

c 1 = 0

Quando y ' L = 0 , então:

y ' x = μ c 2 cos ⁡ μ x

y ' L = μ c 2 cos ⁡ μ L = 0

μ L = ( 2 n - 1 ) π 2

Quando temos c 2 ≠ 0 então μ L = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 … então o autovalor terá a forma:

λ n = - μ 2 = - ( 2 n - 1 ) π 2 L 2

y n = s en ⁡ ( 2 n - 1 ) π 2 L

Resposta

λ n = - μ 2 = - ( 2 n - 1 ) π 2 L 2

y n = sen ⁡ ( 2 n - 1 ) π 2 L

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