Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 16, encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' - 2 y ' + 2 y = r 2 e r t - 2 r e r t + 2 e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t e y ' = r e r t

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 - 2 r + 2 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = 1 ± i

Tendo como solução

y = c 1 e 1 + i t + c 2 e 1 - i t = e t c 1 e i t + c 2 e - i t

Outra forma de escrevermos nossa solução é utilizando uma transformação pela fórmula de Euler e tomar

y = e t ( C 1 cos ⁡ t + C 2   s e n   t )

Perceba que C 1 e C 2 são diferentes de c 1 e c 2

Resposta

y = e t ( C 1 cos ⁡ t + C 2   s e n   t )

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →