Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 18:

(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

(c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não linear?

(d) Desenhe um retrato de fase do sistema não linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não linear.

9)

d x d t = ( 2 + y ) ( y - 0,5 x ) ,     d y d t = 2 - x y + 0,5 x  

Passo 1

a) Bem vamos lá, para determinar todos os pontos críticos, temos que resolver o sistema de equação igual a zero. Em outras palavras d x d t = 0 , d y d t = 0 e resolve os dois sistemas lineares.

2 + y y - 0,5 x = 0               1

E a outra equação temos:

2 - x y + 0,5 x = 0                 2

Da primeira equação colocamos y = - 2 , e teremos na equação (2) que:

( 2 - x ) ( - 2 + 0,5 x ) = 0

Portanto:

x = 2

Ou

x = 4

Teremos então os dois pontos críticos, ( 2 , - 2 )   e ( 4 , - 2 ) .

Utilizando a mesma lógica, podemos colocar y = 0,5 x na equação 1 , substituindo na equação 2 e teremos:

2 - x 0,5 x + 0,5 x = 0    

Obtendo os seguintes pontos:

0 , 0   e   2 , 1

Resposta

a) 2 , - 2 ; ( 4 , - 2 ) ; 0,0   e   2,1

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