Enunciado

Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

x ln ⁡ x = y ( 1 + 3 + y 2 ) y '               y 1 = 1

Passo 1

Sabemos que y ' = d y / d x , então para encontrarmos a solução da equação diferencial podemos deixar todos os termos que depende de y de um lado da equação e todos os termos que dependem de x do outro lado da equação.

x ln ⁡ x = y 1 + 3 + y 2 d y d x  

x ln ⁡ x d x = y 1 + 3 + y 2 d y  

Passo 2

Estando seperadas as variáveis, podemos integrar ambos os lados. Sendo esta uma integral indefinida.

∫ y 1 + 3 + y 2 d y = ∫ x ln ⁡ x d x

y 2 2 + ∫ y 3 + y 2 d y = ∫ x ln ⁡ x d x

Mas podemos integrar ∫ y 3 + y 2 d y utilizando o método de substituição de variáveis:

Seja: u = 3 + y ² , temos que d u = 2 y   d y , então o resultado dessa integral é:

∫ y 3 + y 2 d y = ∫ u d u 2 = 1 3 u 3 / 2 + C 1

Mas u = 3 + y ² então:

∫ y 3 + y 2 d y = 1 3 ( 3 + y 2 ) 3 / 2 + C 1

Já o termo ∫ x ln ⁡ x d x , podemos utilizar o método de integração por partes:

Se u = ln ⁡ x , então d u = d x x e se d v = x   d x então v = x 2 2 , desta forma o resoltado da integral é:

∫ x ln ⁡ x   d x = u ∙ v - ∫ v   d u = x 2 2 ln ⁡ x - ∫ x 2   d x = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + C 2

Portanto o resultado da integral ∫ y 1 + 3 + y 2 d y = ∫ x ln ⁡ x d x é:

y 2 2 + 1 3 ( 3 + y 2 ) 3 / 2 = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + C

Onde C = C 2 - C 1 .

Passo 3

Para encontrar o valor da constante C, podemos utilizar a condição incial dada pelo problema, y 1 = 1 . Isso nos diz que x = 1   e   y = 1 .

Vamos aplicar esta condição inicial no resultado que obtemos após as integrações.

1 2 2 + 1 3 ( 3 + 1 2 ) 3 / 2 = 1 2 2 ln ⁡ 1 - 1 2 4 + C

1 2 + 8 3 + 1 4 = C

C = 41 12

Passo 4

Substituindo o valor de C no resultado que obtemos após as integrações, encontramos a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial y 1 = 1 .

y 2 2 + 1 3 ( 3 + y 2 ) 3 / 2 = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + 41 12

Resposta

y 2 2 + 1 3 ( 3 + y 2 ) 3 / 2 = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + 41 12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 5-8, mostre que cada função é uma solução do problema de valor inicial dado.7. Equação diferencial: x y ' + y = - s e nx Condição inicial: y π 2 = 0 Candidata à solução: y = cos ⁡ x x
Nos Exercícios 5-8, mostre que cada função é uma solução do problema de valor inicial dado.5. Equação diferencial: y ' + y = 2 1 + 4 . e 2 x Condição inicial: y ( - ln ⁡ 2 ) = π 2 Candidata à solução:
Nos Exercícios 5-8, mostre que cada função é uma solução do problema de valor inicial dado.8. Equação diferencial: x 2 y ' = x y - y ² ²Condição inicial: y e = e Candidata à solução: y = x ln ⁡ x
Para todo a0, o gráfico de y=f(x) intercepta ortogonalmente a curva x 2 + 2 y 2 = a . Determine f sabendo que f(1)=2
Para todo a0, o gráfico de y=f(x) intercepta ortogonalmente a curva x y = a . Determine f sabendo que f(2)=3