Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

y 2 ( 1   -   x 2   ) 1 / 2 d y =   a r c s e n   x   d x , y ( 0 )   =   1

Passo 1

  1. A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado.

Assim, temos:

y 2 d y   = a r c s e n   x   d x ( 1   -   x 2   ) 1 / 2

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ y 2 d y =   ∫ a r c s e n   x   d x ( 1   -   x 2   ) 1 / 2

y 3 3 + c = a r c s e n 2 x 2 + c '

y 3 3 = a r c s e n 2 x 2 + C

No enunciado há uma informação de que y ( 0 )   =   1 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

y = 3   a r c s e n 2 x 2 + C 3

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

1 = 3   a r c s e n 2 0 2 + C 3

C   = 1

Assim, a equação é:

y = 3   a r c s e n 2 x   +   2 2 3

Passo 2

b)

Passo 3

  1. Temos como equação final da EDO o seguinte:

y = 3   a r c s e n 2 x   +   2 2 3

Assim, o intervalo em que a solução são as raízes da equação, quando y é igual a zero e ela está definida é com:

- 1 <   x < 1  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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