Enunciado

Em cada um dos problemas de 35 a 42, use o método do problema 34 para resolver a equação dada para t > 0 .

t 2 y ' ' + t y ' + y = 0

Passo 1

Para resolvermos, vamos utilizar o método usado no exercício 34, onde consideramos x = ln ⁡ t e manipulamos a equação de forma a transformar d y / d t para d y / d x , e assim modificar a equação dada com essa regra da cadeia e a do produto.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos aplicar a regra da cadeia e manipular um pouco a expressão. Temos que

d y d t = d y d x ⋅ d x d t = d y d x ⋅ 1 t

e

d 2 y d t 2 = d 2 y d x 2 ⋅ 1 t 2 - d y d x ⋅ 1 t 2

Substituindo na equação, teremos que nossa equação agora ficará

t 2 ⋅ d 2 y d x 2 ⋅ 1 t 2 - d y d x ⋅ 1 t 2 + t ⋅ d y d x ⋅ 1 t + y = 0

d 2 y d x 2 + y = 0

Vamos resolver agora a equação supondo que nossa solução é do tipo y x = c 1 ⋅ e r 1 x + c 2 ⋅ e r 2 x . Assim, temos que nossa equação característica é dada por

r 2 + 1 = 0

Se resolvermos por bhaskara, vamos chegar que nossas raízes são r = ± i , assim nossa solução fica

y x = c 1 ⋅ e i x + c 2 ⋅ e - i x

Aplicando Euler, vamos ter que:

y x = c 1 ⋅ cos ⁡ x + i ⋅ sin ⁡ x + c 2 ⋅ cos ⁡ x - i ⋅ sin ⁡ x

y x = cos ⁡ x ⋅ c 1 + c 2 + i ⋅ sin ⁡ x ⋅ c 1 - c 2 = C 1 ⋅ cos ⁡ x + C 2 ⋅ i ⋅ sin ⁡ x

Pegando só a parte real da solução, vamos ter que nossa equação será:

y x t = C 1 ⋅ cos ⁡ x + C 2 ⋅ sin ⁡ x = C 1 ⋅ cos ⁡ ln ⁡ t + C 2 ⋅ sin ⁡ ln ⁡ t

Resposta

y t = C 1 ⋅ cos ⁡ ln ⁡ t + C 2 ⋅ sin ⁡ ln ⁡ t

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Determine a solução geral. x ¨ + 9 x = sen ⁡ 3 t
Determine a solução geral. x ¨ - 4 x = 8 cos ⁡ t
Determine a solução geral. d 2 y d t 2 - 3 d y d t = 3 t 2
Determine a solução do problema x ¨ + 4 x = 5 e 3 t ,x 0 = 0ex ˙ 0 = 0
Determine a solução do problema x ¨ + 6 x ˙ + 9 x = e - 3 t ,x 0 = 0ex ˙ 0 = 1