Calcule o limite.

lim x → 0 ⁡ x 2 + a 2 - a x 2 + b 2 - b ,     a ,   b > 0 .

Passo 1

Inicialmente, vamos fazer x = 0 para ver se já conseguimos achar o limite.

L = 0 2 + a 2 - a 0 2 + b 2 - b

Como a e b são positivos:

L = a - a b - b → L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. Como temos o termo x 2 + a 2 - a e x 2 + b 2 - b a ideia será multiplicar pelo conjugado de ambos em cima e em baixo. Se não lembra, vem comigo!

Passo 2

O conjugado de   x 2 + a 2 - a   será:

x 2 + a 2 + a

E para x 2 + b 2 - b o conjugado será:

x 2 + b 2 + b

Assim,

L = lim x → 0 ⁡ x 2 + a 2 - a x 2 + b 2 - b ⋅ x 2 + a 2 + a x 2 + a 2 + a

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

a - b a + b

E essa expressão é conhecida!

a - b a + b = a 2 - b 2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = lim x → 0 ⁡ x 2 + a 2 2 - a 2 x 2 + b 2 - b x 2 + a 2 + a

Elevando os termos ao quadrado:

L = lim x → 0 ⁡ x 2 + a 2 - a 2 x 2 + b 2 - b x 2 + a 2 + a

Logo,

L = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + b 2 - b x 2 + a 2 + a

Com isso, resolvemos um dos problemas, mas o limite ainda dará 0 / 0 . Então agora vamos aplicar o mesmo processo para o x 2 + b 2 - b .

Passo 3

Multiplicando pelo conjugado em cima e embaixo:

L = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + b 2 - b x 2 + a 2 + a ⋅ x 2 + b 2 + b x 2 + b 2 + b

Logo,

L = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + b 2 + b x 2 + b 2 2 - b 2 x 2 + a 2 + a

Arrumando o denominador:

L = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + b 2 + b x 2 + b 2 - b 2 x 2 + a 2 + a

Isto é,

L = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + b 2 + b x 2 x 2 + a 2 + a

Passo 4

Pra fechar com chave de ouro é só cortar o x 2 . Assim,

L = lim x → 0 ⁡ x 2 + b 2 + b x 2 + a 2 + a

Agora basta fazer x = 0 e correr pro abraço.

L = b + b a + a → L = b a

Resposta

L = b a

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