Enunciado

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.

Passo 1

Esse item nos fornece as seguintes equações paramétricas:

x = s e n t ,     y = cos ⁡ 2 t ,     t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Vamos começar substituindo o parâmetro t das equações paramétricas por alguns valores do intervalo [ 0 ,   2 π ] :

Passo 2

Esboçando a curva descrita pelas equações paramétricas a partir dos pontos ( x ,   y ) presentes na tabela chegaremos em algo parecido com isso:

Passo 3

Para determinarmos a equação cartesiana dessa curva a partir do par de equações paramétricas devemos eliminar o parâmetro t , para isso devemos nos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ 2 t = 1 - 2 * sin 2 ⁡ t

Tendo isso como base, podemos realizar as seguintes manipulações na equação y :

y = cos ⁡ 2 t

y = 1 - 2 * sin 2 ⁡ t

Onde nessa forma é possível identificar uma possível substituição já que x = sin ⁡ t :

y = 1 - 2 * x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja a função vetorial definida por: σ t = 2 t 1 + t 2 , 1 - t 2 1 + t 2 , 1 Mostre que o ângulo entre σ t e σ ' t é constante, isto é, independe de t .
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