Enunciado

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.

Passo 1

Esse item nos fornece o seguinte par de equações paramétricas:

x = sec ⁡ t ,     y = tan ⁡ t ,     t ∈ [ - π 2 ,   π 2 ]

Vamos começar substituindo o parâmetro t das equações paramétricas por alguns valores do intervalo [ - π 2 , π 2 ] :

Passo 2

Esboçando a curva descrita pelas equações paramétricas a partir dos pontos ( x ,   y ) presentes na tabela chegaremos em algo parecido com isso:

Passo 3

Para determinarmos a equação cartesiana dessa curva a partir do par de equações paramétricas devemos eliminar o parâmetro t , para isso devemos nos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ

Tendo isso como base, basta realizarmos as seguintes manipulações na equação x :

x = sec ⁡ t

x 2 = sec 2 ⁡ t

x 2 = 1 + tan 2 ⁡ t

Onde nessa forma é possível identificar uma possível substituição já que y = tan 2 ⁡ t :

x 2 = 1 + y 2

x 2 - y 2 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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