Enunciado

Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.

∫ 1 4 x 2 + 2 x - 5 d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral:

∫ 1 4 x 2 + 2 x - 5 d x

Para isso, o enunciado quer que utilizemos a forma da definição de integral dada no Teorema 4.

Mas o que diz esse teorema??

Bom... O teorema 4 diz que se f for integrável em [ a , b ] , então

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

Onde ∆ x = b - a n   e x i = a + i ∆ x

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Pelo que foi apresentado no Passo 1, nosso delta é:

∆ x = 4 - 1 n = 3 n

Assim, nosso x i é:

x i = 1 + i 3 n

Passo 3

Com isso, podemos substituir no que foi mostrado no teorema 4:

∫ 1 4 x 2 + 2 x - 5 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x ∴

= lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 3 i n 2 + 2 1 + 3 i n - 5   3 n ∴

= lim n → ∞ ⁡ 3 n ∑ i = 1 n 1 + 6 i n + 9 i 2 n 2 + 2 + 6 i n - 5 ∴

= lim n → ∞ ⁡ 3 n ∑ i = 1 n 9 n 2 i 2 + 12 n i - 2

Distribuindo o somatório, temos:

lim n → ∞ ⁡ 3 n 9 n 2 ∑ i = 1 n i 2 + 12 n ∑ i = 1 n i - ∑ i = 1 n 2

Resolvendo cada somatório, encontramos:

lim n → ∞ ⁡ 27 n 3 n n + 1 2 n + 1 6 + 36 n 2 n n + 1 2 - 6 n n ∴

= lim n → ∞ ⁡ 9 2 n + 1 n 2 n + 1 n + 18 n + 1 n - 6 ∴

= lim n → ∞ ⁡ 9 2 1 + 1 n 2 + 1 n + 18   1 + 1 n - 6

Aplicando o limite, temos:

9 2 * 1 * 2 + 18 * 1 - 6 ∴

∫ 1 4 x 2 + 2 x - 5 d x = 21

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

∫ 1 4 x 2 + 2 x - 5 d x = 21

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