Calcular a área entre as curvas y = sen^2 x e y = cos^2(x) , de pi / 4 até 3 \* pi / 4 .

Passo 1

Para encontrar a região da área vamos primeiro desenhar as curvas y = sen 2 ⁡ x e y = cos 2 ⁡ x , onde a curva verde é y = sen 2 ⁡ x e a vermelha y = cos 2 ⁡ x :

Passo 2

Pronto, temos o desenho base do gráfico. Agora vamos colocar as retas, elas vão limitar a área que queremos:

Passo 3

Vamos agora montar a integral da área, temos que os limites de integração são de π 4 até 3 π 4 , e temos que y = s en 2 ⁡ x é a função de cima, e y = cos 2 ⁡ x é a função de baixo, vamos substituir:

A = ∫ a b f c i m a - f b a i x o d x = ∫ 0 π sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x d x

Vamos usar as identidades para calcular a integral:

sen 2 ⁡ x = 1 2 - cos ⁡ 2 x 2

cos 2 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 x 2

Assim:

A = ∫ π 4 3 π 4 sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x d x = ∫ π 4 3 π 4 1 2 - cos ⁡ 2 x 2 - 1 2 + cos ⁡ 2 x 2 d x =

= ∫ π 4 3 π 4 1 2 - cos ⁡ 2 x 2 - 1 2 - cos ⁡ 2 x 2 d x = ∫ π 4 3 π 4 - cos ⁡ 2 x 2 - cos ⁡ 2 x 2 d x =

= ∫ π 4 3 π 4 - cos ⁡ 2 x d x = - sen ⁡ 2 x 2 π 4 3 π 4 = - sen ⁡ 2 ⋅ 3 π 4 2 - - sen ⁡ 2 ⋅ π 4 2 =

= - sen ⁡ 3 π 2 2 - - sen ⁡ π 2 2 = - - 1 2 - - 1 2 = 1 2 + 1 2 = 2 2 = 1

Resposta

A = 1

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