Enunciado

Calcular a área da região delimitada pela elipse

x = 3 cos ⁡ t y = s e n   t

Passo 1

Temos a seguinte representação gráfica da região limitada pela elipse:

Passo 2

A área de uma região delimitada pela elipse é dada pela seguinte equação:

A = ∫ t 0 t y t ⋅ x ' ( t ) d t

Sendo assim, a derivada de x , é:

x ' = - 3   s e n   t

Passo 3

Substituindo y e x ' na equação da área de uma região delimitada pela elipse, temos:

A = ∫ 0 2 π s e n   t ⋅ - 3   s e n   t   d t = - 3 ∫ 0 2 π s e n 2   t d t

Integrando:

A = - 3 2 t + 3 4   s e n   2 t

Aplicando os limites, temos:

A = - 3 2 2 π - 0 + 3 4 s e n   4 π - s e n   0 = - 3 π

Como estamos trabalhando com área, utilizamos o seu módulo:

A = 3 π

Resposta

3 π   u .   a

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