Calcular a área sob a curva y = 1 / (2 + sen x) de x = 0 a x = pi / 2 .

Passo 1

Pra a gente calcular a área, é “só” integrar essa função no intervalo pedido.

Ou seja:

A = ∫ 0 π 2 1 2 + s e n   x   d x

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Nesse caso aqui vai ficar

  t = t g x 2

E com isso a gente tem que:

s e n   x = 2 t 1 + t 2   e   d θ = 2 d t 1 + t 2

Passo 2

Vamos resolver a integral indefinida primeiro:

∫ 1 2 + s e n   x   d x

Agora a gente substitui:

∫ 2 d t 1 + t 2 2 + 2 t 1 + t 2

= ∫ 2 d t 1 + t 2 2 + 2 t 2 + 2 t 1 + t 2

= ∫ 2 d t 2 t 2 + 2 t + 2

= ∫ d t t 2 + t + 1

A gente pode completar o quadrado na função debaixo...

∫ d t t + 1 2 2 + 3 4

Passo 3

Agora a gente integra:

= 1 3 2 a r c t g   t + 1 2 3 2 + C

Vamos voltar pra variável x ...

2 3 a r c t g   2 t g x 2 + 1 3 + C

Agora a gente tem que aplicar o intervalo de integração...

A = 2 3 a r c t g   2 t g x 2 + 1 3 0 π 2

Passo 4

Aplicando os valores do intervalo fica:

A = 2 3 a r c t g   2 t g π 4 + 1 3 - 2 3 a r c t g   2 t g   0 + 1 3

A = 2 3 a r c t g 3 3 - 2 3 a r c t g 1 3

A = 2 3 ∙ π 3 - 2 3 ∙ π 6

A = 2 3 π 3 - π 6

A = π 3 9 u . a

Prontinho! Essa é a área😉

Resposta

A = π 3 9 u . a

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