Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.9 - Ex. 9

Ver Outros Exercícios
desse livro

Calcular a integral indefinida.

∫ cos ⁡ ( 2 t - 1 ) 2 - cos ⁡ ( 2 t - 1 ) d t  

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

  t = t g x 2

E com isso a gente tem que:

s e n   x = 2 t 1 + t 2 ; cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2   e   d x = 2 d t 1 + t 2

Mas nesse aqui, antes de fazer essa substituição, a gente vai fazer outra. Vamos colocar:

u = 2 t - 1

d u = 2   d x

Passo 2

Substituindo a primeira vez, fica:

1 2 ∫ cos ⁡ u 2 - cos ⁡ u d u

Agora a gente pode fazer x = t g u 2 (a gente não vai usar t porque é nossa variável inicial).

Fazendo as substituições, temos:

1 2 ∫ 1 - x 2 1 + x 2 2 - 1 - x 2 1 + x 2 ∙ 2 d x 1 + x 2

1 2 ∫ 1 - x 2 1 + x 2 2 + 2 x 2 - 1 + x 2 1 + x 2 ∙ 2 d x 1 + x 2

∫ 1 - x 2 3 x 2 + 1 ∙ d x 1 + x 2

∫ 1 - x 2 1 + x 2 3 x 2 + 1 d x = 1 3 ∫ 1 - x 2 1 + x 2 x 2 + 1 3

Passo 3

Pra integrar isso aí agora, a gente vai ter que usar frações parciais. Aqui vai ficar assim:

1 - x 2 1 + x 2 x 2 + 1 3 = A x + B 1 + x 2 + C x + D t 2 + 1 3

Aí a gente desenvolve...

1 - x 2 = ( A x + B ) x 2 + 1 3 + ( C x + D ) ( x 2 + 1 )

Daqui a gente tira que:

A + C = 0 B + D = 0 1 3 A + C = 0 1 3 B + D = 1

Ou seja:

A = 0 ; B = - 3 ; C = 0   e   D = 2

Passo 4

A gente pode reescrever a integral assim agora:

I = 1 3 ∫ - 3 1 + x 2 + 2 x 2 + 1 3 d x

Aí integrando a gente fica com:

- a r c t g   x + 2 3 a r c t g   3 x + C

Agora voltamos para a variável inicial que é t :

=   - a r c t g   t g 2 t - 1 2 + 2 3 a r c t g     3 t g 2 t - 1 2 + C

Pronto!!

Resposta

- a r c t g   t g 2 t - 1 2 + 2 3 a r c t g     3 t g 2 t - 1 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Um aluno está descendo de skate uma rampa de 6,0 m de comprimento e in

Ver Mais

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica

Ver Mais

Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x

Ver Mais

1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3

Ver Mais

Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios

Ver Mais