Calcular a integral indefinida.

∫ d x s e n   x + cos ⁡ x

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Nesse caso aqui vai ficar

  t = t g x 2

E com isso a gente tem que:

s e n   x = 2 t 1 + t 2 ; cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2   e   d x = 2 d t 1 + t 2

Passo 2

Substituindo vai ficar assim:

∫ 2 d t 1 + t 2 2 t 1 + t 2 + 1 - t 2 1 + t 2

= ∫ 2 d t 1 + t 2 2 t + 1 - t 2 1 + t 2

= - ∫ 2 d t t 2 - 2 t - 1

Aí agora a gente fatora esse denominador:

= - ∫ 2 d t t - 1 - 2 t - 1 + 2

Passo 3

Pra a gente integrar esse último, vamos usar frações parciais:

2 t - 1 - 2 t - 1 + 2 = A t - 1 - 2 + B t - 1 + 2

Aí a gente desenvolve...

2 = A t - 1 + 2 + B t - 1 - 2

Bom, daqui a gente encontra que:

A = 1 2 2   e   B = - 1 2 2

E aí a gente pode reescrever nossa integral e calcular...

- 2 1 2 2 ∫ 1 t - 1 - 2 - 1 t - 1 + 2   d t

= - 1 2 ln ⁡ t - 1 - 2 + ln ⁡ t - 1 + 2 + C  

Agora a gente volta pra nossa variável inicial...

- 1 2 ln ⁡ t g x 2 - 1 - 2 + 1 2 ln ⁡ t g x 2 - 1 + 2 + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

- 1 2 ln ⁡ t g x 2 - 1 - 2 + 1 2 ln ⁡ t g x 2 - 1 + 2 + C

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