Encontrar o comprimento da curva dada.

x^(2/3) + y^(2/3) = 2^(2/3)

Passo 1

Aqui a gente vai ter que parametrizar antes. Vamos fazer assim:

x = 2 cos 3 ⁡ t y = 2   s e n 3 t

Aí nesse a gente caso a gente calcula o comprimento assim:

L = ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2 d t

Passo 2

Vamos derivar a parametrização então:

x ' = - 6 cos 2 ⁡ t   s e n   t

y ' = 6   s e n 2 t cos ⁡ t

O intervalo vai ser onde tanto o seno quanto o cosseno são positivos. Ou seja, de 0   a π 2 .

Agora a gente aplica na fórmula do comprimento...

L = 4 ∫ 0 π 2 - 6 cos 2 ⁡ t   s e n   t 2 + 6   s e n 2 t cos ⁡ t 2   d t

L = 4 ∫ 0 π 2 36 cos 4 ⁡ s e n 2 t + 36 s e n 4 t cos 2 ⁡ t   d t

L = 4 ∫ 0 π 2 36 s e n 2 cos 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + s e n 2 t     d t

L = 4 ∫ 0 π 2 36 s e n 2 t cos 2 ⁡ t d t

L =   4 ∫ 0 π 2 6   s e n   t cos ⁡ t   d t

L = 24   s e n 2 t 2 0 π 2

L = 24 ∙ 1 2 = 12   u . c .

Pronto! Esse é o comprimento😉

Resposta

L = 12   u . c

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