Enunciado

1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.

1. a) ∫ 1 3 2 x - 1 3 d x ; u = 2 x - 1

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de questão o intuito é só pegar a ideia de como resolver uma integral por substituição, tanto que não devemos calcular de fato a integral, apenas deixa-la nos moldes corretos! Vale ressaltar aqui que como queremos expressar a integral em termos da variável u , então também devemos alterar os intervalos de integração, ok? Então bora lá!

Nossa integral é:

∫ 1 3 2 x - 1 3 d x

E nossa substituição é:

u = 2 x - 1

Derivando para descobrirmos d u em função de d x :

d u = 2 d x

∴ d u 2 = d x

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ 1 3 2 x - 1 3 d x = 1 2 ∫ 1 3 u 3 d u

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

Por fim, o que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a x , e sim em relação a u ! Os intervalos são: x = 1 e x = 3 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u 1 = 2.1 - 1 = 1

u 3 = 2.3 - 1 = 5

Logo, nossa integral será:

∫ 1 3 2 x - 1 3 d x = 1 2 ∫ 1 5 u 3 d u

E está aí nosso lindo resultado, galera!

Resposta

∫ 1 3 2 x - 1 3 d x = 1 2 ∫ 1 5 u 3 d u

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