Enunciado

1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.

4. a) ∫ 1 3 a r c   t g   x 1 + x 2 d x ; u = a r c   t g   x

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de questão o intuito é só pegar a ideia de como resolver uma integral por substituição, tanto que não devemos calcular de fato a integral, apenas deixa-la nos moldes corretos! Vale ressaltar aqui que como queremos expressar a integral em termos da variável u , então também devemos alterar os intervalos de integração, ok? Então bora lá!

Nossa integral é:

∫ 1 3 a r c   t g   x 1 + x 2 d x

E nossa substituição é:

u = a r c   t g   x

Derivando para descobrirmos d u em função de d x :

d u = 1 1 + x 2 d x

Aqui vale ressaltar que esse termo 1 1 + x 2 é a derivada do a r c   t g   x , beleza? Essa é uma derivada tabelada! Agora substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ 1 3 a r c   t g   x 1 + x 2 d x = ∫ 1 3 u d u

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

Por fim, o que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a x , e sim em relação a u ! Os intervalos são: x = 1 e x = 3 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u 1 = a r c   t g   1 = π 4

u 3 = a r c   t g   3 = π 3

Logo, nossa integral será:

∫ 1 3 a r c   t g   x 1 + x 2 d x = ∫ π 4 π 3 u d u

E está aí nosso lindo resultado, galera!

Resposta

∫ 1 3 a r c   t g   x 1 + x 2 d x = ∫ π 4 π 3 u d u

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