Determine o campo vetorial gradiente de f .

f(x, y, z) = x \* cos(y / z)

Passo 1

Galera, lá da teoria a gente sabe que o campo vetorial gradiente de f será o seguinte:

∇ f = ∂ f ∂ x   i + ∂ f ∂ y   j + ∂ f ∂ z   k

Então, é só calcular as derivadas parciais de f .

Passo 2

f x ,   y ,   z = x cos ⁡ y z

Para f x , temos:

∂ f ∂ x = cos ⁡ y z

Para f y , ficamos com o seguinte:

∂ f ∂ y = x - s e n y z   . 1 z = - x z s e n y z

Assim,

∂ f ∂ y = - x z s e n y z

Por fim, vamos ver o f z :

∂ f ∂ z = x - s e n y z   .   y - 1 z 2

Logo,

∂ f ∂ z = x y z 2 s e n y z

Passo 3

Do Passo 1, temos:

∇ f = ∂ f ∂ x   i + ∂ f ∂ y   j + ∂ f ∂ z   k

Substituindo com o que acharmos no Passo 2:

∇ f = cos ⁡ y z   i - x z s e n y z   j + x y z 2 s e n y z   k

Resposta

∇ f = cos ⁡ y z   i - x z s e n y z   j + x y z 2 s e n y z   k

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