Calcular os limites seguintes:

o) lim x → 1 y → 1 ⁡ x y - y sen ⁡ 1 x - 1 cos ⁡ 1 y - 1

Passo 1

Queremos então calcular o lim x → 1 y → 1 ⁡ x y - y sen ⁡ 1 x - 1 cos ⁡ 1 y - 1 . Não conseguimos calcular o limite diretamente, então podemos usar a proposição 3.3 . 6 par dizer que esse limite é zero. Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

lim x → 1 y → 1 ⁡ x y - y sen ⁡ 1 x - 1 cos ⁡ 1 y - 1 = lim x → 1 y → 1 ⁡ x y - y ⋅ lim x → 1 y → 1 ⁡ sen ⁡ 1 x - 1 cos ⁡ 1 y - 1

Temos que:

lim x → 1 y → 1 ⁡ x y - y = 0

Sabemos que uma função f t = sen ⁡ t é limita de - 1 a 1 , assim como uma função f t = cos ⁡ t . Temos que não é diferente para a função f y = cos ⁡ 1 y - 1 e pra a função f x = sen ⁡ 1 x - 1 . Também sabemos que a multiplicação de duas funções limitadas também é limitada.

Logo, pela proposição 3.3 . 6 temos que:

lim x → 1 y → 1 ⁡ x y - y sen ⁡ 1 x - 1 cos ⁡ 1 y - 1 = 0

Resposta

lim x → 1 y → 1 ⁡ x y - y sen ⁡ 1 x - 1 cos ⁡ 1 y - 1 = 0

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