Enunciado

Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,   y tende ao ponto indicado:

a) f x ,   y = x sen ⁡ 1 y   ,   y ≠ 0   0   ,                       y = 0 ;   P ( 0 ,   0 )

Passo 1

Vamos supor que o limite existe e é zero.

lim x → 0 y → 0 ⁡ f ( x ,   y ) = lim x → 0 y → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 y = 0

Assim, para mostrar isso podemos usar a definição de limite:

Dado um ε > 0 existe δ > 0 tal que x sen ⁡ 1 y - 0 < ε sempre que 0 < x 2 + y 2 < δ .

Passo 2

Podemos reorganizar x sen ⁡ 1 y - 0 da seguinte forma:

x sen ⁡ 1 y - 0 = x sen ⁡ 1 y

E também podemos dizer que:

x ≤ x 2 + y 2

e

sen ⁡ 1 y ≤ 1

Passo 3

Com o que foi dito no passo 2, podemos fazer a seguinte relação:

x sen ⁡ 1 y ≤ x 2 + y 2 ⋅ 1

Simplificando os termos, nós temos:

x sen ⁡ 1 y ≤ x 2 + y 2

Como 0 < x 2 + y 2 < δ , podemos dizer que:

x sen ⁡ 1 y ≤ δ

Passo 4

Assim, se tomarmos δ = ε podemos dizer que:

x sen ⁡ 1 y ≤ ε

Sempre que 0 < x 2 + y 2 < δ .

Com isso provamos que o limite existe e é igual a zero.

lim x → 0 y → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 y = 0

Resposta

O limite existe.

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