Enunciado

Calcular ∭_T^() ( sqrt(x^2 + y^2 + z^2) ) d V , onde T é a região delimitada por x^2 + y^2 + z^2 = 1 e x^2 + y^2 + z^2 = 4 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Como o problema nos disse, nossa região é limitada por duas esferas, a menor, x^2 + y^2 + z^2 = 1 , e a maior, x^2 + y^2 + z^2 = 4 .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas, começando pela maior:

x^2 + y^2 + z^2 = p^2

p^2 = 4

p = +- 2

Para a menor:

p^2 = 1

p = +- 1

Então p estará entre:

1 <= p <= 2

Legal, agora só precisamos de ф e theta .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então:

0 <= ф <= pi

O theta é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (6) para mudar as variáveis de integração:

∭_T^() ( sqrt(x^2 + y^2 + z^2) ) d V = ∭_T^() ( sqrt(p^2) ) p^2 . s e n (ф) . d p . d theta . d ф

= ∭_T^() p^3 . s e n (ф) . d p . d theta . d ф

= ∬_R^() [int_1^2 p^3 . d p] s e n (ф) . d theta . d ф

Resolvendo:

int_1^2 p^3 . d p = (p^4)/(4) = (2^4 - 1^4)/(4) = (1 5)/(4)

Aplicando na integral:

= int_0^(pi) [ int_0^(2 pi) ((15)/(4)) d theta ] s e n (ф) . d ф

Resolvendo a integral:

int_0^(2 pi) ((15)/(4)) d theta = (15 pi)/(2)

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= int_0^(pi) (15 pi)/(2) . s e n (ф) . d ф

= (15 pi)/(2) int_0^(pi) s e n (ф) . d ф

= (15 pi)/(2) ( - cos ф )

Aplicando o intervalo:

= - (15 pi)/(2) ( cos pi - cos 0 )

= - (15 pi)/(2) ( - 2 )

= 15 pi

Prontinhoo!!

Resposta

15 pi

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Identifique a superfície cuja equação é dada.rho = sen theta sen varphi
Escreva a equação em coordenadas esféricas.(a) x 2 - 2 x + y 2 + z 2 = 0 (b) x + 2 y + 3 z = 1
Coordenadas esféricas Encontre o volume da região delimitada pela superfície em coordenadas esféricas r = 2 sen f(veja a figura a seguir)