Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) d V , onde T é a região delimitada por x^2 + y^2 + z^2 = 1 e x^2 + y^2 + z^2 = 4

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Como o problema nos disse, nossa região é limitada por duas esferas, a menor, x 2 + y 2 + z 2 = 1 , e a maior, x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas, começando pela maior:

x 2 + y 2 + z 2 = p 2

p 2 = 4

p = ± 2

Para a menor:

p 2 = 1

p = ± 1

Então p estará entre:

1 ≤ p ≤ 2

Legal, agora só precisamos de ф e θ .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então:

0 ≤ ф ≤ π

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (6) para mudar as variáveis de integração:

∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) d V = ∭ T ( p 2 ) p 2 . s e n   ф . d p . d θ . d ф

= ∭ T p 3 . s e n   ф . d p . d θ . d ф

= ∬ R ∫ 1 2 p 3 . d p s e n   ф . d θ . d ф

Resolvendo:

∫ 1 2 p 3 . d p = p 4 4 = 2 4 - 1 4 4 = 1 5 4

Aplicando na integral:

= ∫ 0 π [ ∫ 0 2 π 15 4 d θ ] s e n   ф . d ф    

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 π 15 4 d θ = 15 π 2

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 π 15 π 2   . s e n   ф . d ф      

= 15 π 2 ∫ 0 π s e n ф   . d ф  

= 15 π 2 ( - cos ⁡ ф )

Aplicando o intervalo:

= - 15 π 2 ( cos ⁡ π - cos ⁡ 0 )

= - 15 π 2 ( - 2 )

= 15 π

Prontinhoo!!

Resposta

15 π

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