Calcular as seguintes integrais:

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 4 - x 2 - y 2 x 2 d z . d y . d x

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, pela primeira integral nós vemos que o z vai de zero até 4 - x 2 - y 2 .

Com isso nós deduzimos que:

z = 4 - x 2 - y 2

Um paraboloide, certo?

Assim como o z, o x e o y também partem do zero !!

Então nosso desenho ficará assim:

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas cilíndricas:

z = 4 - r 2

Então z irá:

0 ≤ z ≤ 4 - r 2

Quando z equivale a zero, nosso raio vai de:

0 = 4 - r 2

r 2 = 4

r = ± 2

Shooow!! Já temos o intervalo de r:

0 ≤ r ≤ 2

Legal, agora só precisamos de θ .

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, no círculo esse ângulo vai de 0 até 360°, mas neste caso x e y começam do zero, então teremos ¼ do círculo, não é mesmo?

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 4 - x 2 - y 2 x 2 d z . d y . d x

Lembrando que:

x = r . cos ⁡ ( θ )

Então:

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 ( r 2 . cos 2 ⁡ ( θ ) ) r   d z . d r . d θ

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 ( r 3 )   d z . d r . cos 2 ⁡ ( θ ) . d θ

Resolvendo:

∫ 0 4 - r 2 ( r 3 ) d z = r 3 z = r 3 ( 4 - r 2 )

Aplicando na integral:

= ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ( 4 r 3 - r 5 ) d r . cos 2 ⁡ ( θ ) . d θ

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 ( 4 r 3 - r 5 ) d r = 4 r 4 4 - r 6 6

Aplicando o intervalo:

= 2 4 - 2 6 6 = 16 - 32 3 = 16 3

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 π 2 16 3 cos 2 ⁡ ( θ ) . d θ

= 16 3 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ ( θ ) . d θ

Lembrando que:

cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) 2

Substituindo:

= 16 6 ∫ 0 π 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) ) . d θ

= 16 6 θ + ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ . d θ

Mais uma substituição aqui:

= 16 6 θ + 1 2 s e n   ( 2 θ )

Aplicando o intervalo:

= 8 3 π 2 + 1 2 s e n   π - s e n   0

= 8 3 π 2

= 4 π 3

Prontinhoo!!

Resposta

4 π 3

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