1. Calcular ∬ r f x , y   d x d y , onde:

e) f(x, y) = 1 / (x + y) ; R é o quadrado: 1 <= x <= 2; 1 <= y <= 2.

Passo 1

Calcula a integral iterada:

∬ 1   1 2   2 1 x + y d x d y

Passo 2

Integrar com relação a x . Trate y como uma constante no primeiro caso, por conta da primeira integral ser em relação a x .

∫ 1 2 1 x + y d x =

ln ⁡ x + y 1 2 =

= ln ⁡ | 2 + y | - ln ⁡ | 1 + y |

Passo 3

Agora vamos integrar em função de y , levando em conta o valor obtido na integral de x . Assim temos:

∫ 1 2 ( ln ⁡ | 2 + y | - ln ⁡ | 1 + y | )   d y =

Vamos dividir em duas integrais para ficar mais fácil:

∫ 1 2 ln ⁡ | 2 + y | d y - ∫ 1 2 ln ⁡ | 1 + y | d y

Vamos resolver o primeiro termo:

∫ 1 2 ln ⁡ 2 + y d y

Usando integrais por partes, temos:

u = y + 2

d u = d y

∫ ln ⁡ u   d u =

v = ln ⁡ u ⟹ d v = 1 u d u

d v = d u ⇒ v = u

∫ u d v = u v - ∫ v d u

= u ln ⁡ u - ∫ u ⋅ 1 u d u

= u l n   u - u

Voltando com u = 2 + y

∫ 1 2 ln ⁡ 2 + y d y =

2 + y ln ⁡ 2 + y - y - 2 1 2 =

= 4 ln ⁡ 4 - 3 ln ⁡ 3 - 1

Passo 4

Se você reparar bem, o segundo termo é exatamente igual o primeiro, mudando apenas o número dentro do l n , logo é o mesmo resultando, trocando apenas o 2   p e l o   1 .

∫ 1 2 ln ⁡ 1 + y d y =

= 1 + y ln ⁡ 1 + y - y - 1 1 2 =

3 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 - 1

Passo 5

∫ 1 2 ln ⁡ | 2 + y | d y - ∫ 1 2 ln ⁡ | 1 + y | d y =

4 ln ⁡ 4 - 3 ln ⁡ 3 - 1 - 3 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 - 1 =

= 4 ln ⁡ 4 - 6 ln ⁡ 3 + 2 ln ⁡ 2

= 8 ln ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 3 + 2 ln ⁡ 2

= 10 ln ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 3

Resposta

10 ln ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 3

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