Enunciado

A função densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é

f x , y = C x + y   s e   0 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 2 0   c a s o   c o n t r á r i o

a Determine o valor da constante C

b Encontre P X ≤ 2 , Y ≥ 1

C Encontre P ( X + Y ≤ 1 ) .

Passo 1

E aí meus chuchus, tudo bom? Se liguem só, temos que f x , y é uma função de densidade conjunta, então sabemos que

∫ ∫ R 2 f x , y   d A = 1

Como temos que f x , y = 0 fora do retângulo 0,3 × 0,2 nós podemos dizer que

∫ ∫ R 2 f x , y   d A = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y   d y   d x = ∫ 0 3 ∫ 0 2 C x + y   d y d x  

C ⋅ ∫ 0 3 x y + y 2 2 0 2 d x = C ⋅ ∫ 0 3 2 x + 2   d x = C ⋅ x 2 + 2 x 0 3 = 15 C

Portanto, teremos

15 C = 1 → C = 1 15

Passo 2

Agora se tivermos P ( X ≤ 2 , Y ≥ 1 ) vamos ter

P X ≤ 2 , Y ≥ 1 = ∫ - ∞ 2 ∫ 1 ∞ f x , y   d y   d x = ∫ 0 2 ∫ 1 2 1 15 x + y   d y d x  

1 15 ⋅ ∫ 0 2 x y + y 2 2 1 2 d x = 1 15 ⋅ ∫ 0 2 x + 3 2   d x = 1 15 ⋅ x 2 2 + 3 x 2 0 2 = 1 3

Passo 3

Para finalizarmos o problema vamos fazer o seguinte

P X + Y ≤ 1 = P X , Y ∈ D

Onde D é a região triangular mencionada no enunciado e que pode ser ilustrada por

Então, nós teremos

P X + Y ≤ 1 = ∫ ∫ D f x , y   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 15 ⋅ x + y   d y   d x

P X + Y ≤ 1 = 1 15 ⋅ ∫ 0 1 x y + y 2 2 0 1 - x d x = 1 15 ⋅ ∫ 0 1 x ⋅ 1 - x + 1 - x 2 2 d x

P X + Y ≤ 1 = 1 30 ⋅ ∫ 0 1 1 - x 2 d x = 1 30 ⋅ x - x 3 3 0 1 = 1 45

Pronto, tá resolvido mais uma questãozinha.

Resposta

a 1 15  

b   1 3

c 1 45

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Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :c) x + y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a : ye x y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :h) 1 x + y 2
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a : b )x - y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a:m) 1 1 + x 2 + 2 x y + y 2