Calcular as seguintes integrais:

∫ 0 a ∫ - a 2 - x 2 a 2 - x 2 ∫ 0 4 d z . d y . d x

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, pela primeira integral nós vemos que o z vai de 0 até 4 .

Pela segunda integral nós deduzimos que:

y 2 = a 2 - x 2

x 2 + y 2 = a 2

Um cilindro, certo?

Então nosso desenho ficará assim:

Neste caso é legal nós usarmos as integrais da forma como nos foi dado.

Começando por:

∫ 0 4 d z = z = 4

Aplicando no que restou:

= ∫ 0 a ∫ - a 2 - x 2 a 2 - x 2 4 . d y . d x

∫ - a 2 - x 2 a 2 - x 2 4 d y = 4 y = 4 ( a 2 - x 2 + a 2 - x 2 )

= 8 ( a 2 - x 2 )

= ∫ 0 a 8 ( a 2 - x 2 ) . d x

= 8 ∫ 0 a ( a 2 - x 2 ) . d x

Passo 2

Para resolver esta última equação nós podemos usar a substituição:

x = a . s e n   ( u )

d x = a . cos ⁡ ( u ) . d u

O novo intervalo será:

s e n   u = 1 → u = π 2

s e n   u = 0 → u = 0

= 8 ∫ 0 π 2 a 2 - a 2 . s e n   u . ( a . cos ⁡ ( u ) . d u )

= 8 ∫ 0 π 2 a 2 ( 1 - s e n 2   u ) . ( a . cos ⁡ ( u ) . d u )

Usando a identidade:

= 8 ∫ 0 π 2 a 2 . cos 2 ⁡ ( u ) . ( a . cos ⁡ ( u ) . d u )

= 8 ∫ 0 π 2 ( a . cos ⁡ ( u ) ) . ( a . cos ⁡ ( u ) . d u )

= 8 ∫ 0 π 2 a 2 . cos 2 ⁡ ( u ) . d u

= 8 a 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ ( u ) . d u

Lembrando que:

cos 2 ⁡ ( u ) = 1 + cos ⁡ ( 2 u ) 2

Substituindo:

= 4 a 2 ∫ 0 π 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 u ) ) . d u

= 4 a 2 u + ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 u . d u

Mais uma substituição aqui:

= 4 a 2 u + 1 2 s e n   ( 2 u )

Aplicando o intervalo:

= 4 a 2 π 2 + 1 2 s e n   π - s e n   0

= 2 π a 2

Prontinhoo!!

Resposta

2 π a 2

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