Enunciado

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.

18. z = 2 x 2 + y 2 - 5

Passo 1

Então galera, para determinarmos os pontos críticos da função que nos foi dada, vamos inicialmente determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função z = f x ,   y que temos, tudo bem? Ok! Nossa função é:

z = 2 x 2 + y 2 - 5

As derivadas serão:

∂ f ∂ x = 4 x

∂ 2 f ∂ x 2 = 4

Para y :

∂ f ∂ y = 2 y

∂ 2 f ∂ y 2 = 2

Para as derivadas mistas:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 0

Tudo bem, a primeira parte está concluída!

Passo 2

Igualando as derivadas a zero encontramos o ponto crítico 0 ,   0 . Sendo assim, temos que o determinante será:

H x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y ∂ 2 f ∂ y 2 ( x ,   y )  

H 0 ,   0 = 4 0 0 2 = 8 > 0

Sendo assim, temos que nosso determinante deu um resultado positivo, vamos guardar isso!

Passo 3

O que devemos fazer agora é ver o sinal da derivada parcial ∂ 2 f ∂ x 2 no ponto 0 ,   0 , tudo bem? Substituindo, teremos:

∂ 2 f ∂ x 2 0 ,   0 = 4 > 0

Sendo assim, temos que nossa derivada resultou em um valor positivo também. Pelas proposições estudadas na seção 5.6.1 temos que quando o determinante e a derivada parcial, ambos calculados no ponto crítico, resultam em valores positivos, então isso implica que o ponto crítico em questão é um mínimo! Dessa forma, temos que:

0 ,   0   é   m í n i m o

Resposta

Ponto crítico: 0 ,   0 ;

Classificação: Mínimo.

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