Calcular ∬ R ( 8 - x - y ) d x d y , sendo R delimitada por x^2 + y^2 = 1 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Temos:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

As coordenadas polares se dão:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Substituindo na equação dada, obtemos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 8 - r cos ⁡ θ - r   s e n   θ ) ⋅ r   d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 1 ( 8 r - r 2 cos ⁡ θ - r 2   s e n   θ )   d r = 4 r 2 - r 3 3 c o s ⁡ θ - r 3 3 s e n ⁡ θ

Aplicando os limites:

4 1 - 0 - 1 - 0 3 cos ⁡ θ - 1 - 0 3 s e n   θ = 4 - 1 3 cos ⁡ θ - 1 3 s e n   θ  

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π ( 4 - 1 3 cos ⁡ θ - 1 3 s e n   θ ) d θ = 4 θ - 1 3 s e n   θ + 1 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites:

4 2 π - 0 - 1 3 s e n   2 π - s e n   0 + 1 3 ( cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 0 ) = 8 π - 0 + 0 = 8 π  

Resposta

8 π

O resultado obtido representa o volume de um tronco de cilindro.

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